Question

Considere Z = 1 + 3i. O produto de Z por seu conjugado é igual a

Answer 1

O produto do número complexo $z$ por seu conjugado é igual a 10.

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Para resolver esta questão, precisamos relembrar a definição de conjugado de um número complexo.

Conjugado

Se $z=x+yi$ é um número complexo, então o seu conjugado, denotado por $\overline{z},$ é igual a $\overline{z}=x-yi.$

$\Large\boxed{z=x+yi\iff\overline{z}=x-yi.}$

Assim sendo, o conjugado do número complexo $z=1+3i$ é igual a $\overline{z}=1-3i.$

Como queremos o produto entre eles, precisamos encontrar o resultado da seguinte multiplicação:

$\Largez\cdot \overline{z}=(1+3i)(1-3i).$

Antes de resolver essa operação, vejamos o que acontece quando multiplicamos um complexo $z=x+yi$ por seu conjugado:

$\Large\begin{aligned}z\cdot\overline{z}&=(x+yi)(x-yi)\\\\&=x^2-xyi+xyi-y^2\cdot i^2\\\\&=x^2+0-y^2\cdot(-1)\\\\&=x^2+y^2.\end{aligned}$

Com isso, podemos concluir que o produto de um número complexo por seu conjugado é sempre igual à soma dos quadrados da parte real e da imaginária.

Assim sendo, temos:

$\Large\begin{aligned}(1+3i)(1-3i)&=1^2+3^2\\\\&=1+9\\\\&=10.\end{aligned}$

Portanto, o produto do número complexo $z$ por seu conjugado é igual a 10.

Observação: Na imagem anexa, encontra-se a representação do número complexo $z=1+3i$ no plano de Argand-Gauss.

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