Question

Demonstre a validade do seguinte argumento formal (prove por dedução usando apenas as regras de dedução básicas):
R→S, P∧R, P→Q⊢ Q∧S

Answer 1

Usando apenas regras de dedução básicas, consegue-se a seguinte demonstração:

$\Large\begin{array}{lll}1.&R\rightarrow S&\text{(premissa)}\\2.& P\wedge R&\text{(premissa)}\\3.&P\rightarrow Q&\text{(premissa)}\\4.&R&\text{(2 SIMP)}\\5.&P&\text{(2 SIMP)}\\6.&Q&\text{(3,5 MP)}\\7.&S&\text{(1,4 MP)}\\8.&Q\wedge S&\text{(6,7 CONJ)}\end{array}$

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Esta questão pede para demonstrar a validade do seguinte argumento usando apenas regras de dedução básicas:

$\LargeR\rightarrow S,\,P\wedge R,\,P\rightarrow S\vdash Q\wedge S.$

Para tanto, vamos utilizar três regras de dedução (ou inferência) básicas: simplificação, modus ponens e conjunção.

Simplificação (SIMP)

Tendo como base a premissa $p\wedge q,$ esta regra permite deduzir cada uma das proposições simples componentes, $p$ ou $q$. Em símbolos, temos:

$\Largep\wedge q\vdash p$

ou

$\Largep\wedge q\vdash q.$

Modus ponens (MP)

Tendo $p\rightarrow q$ e $p$ como premissas, a regra modus ponens permite inferir a proposição $q.$

$\Largep\rightarrow q,\,p\vdash q.$

Observação: Na imagem anexa, encontra-se uma outra forma de representar a regra modus ponens.

Conjunção (CONJ)

Dadas duas premissas $p$ e $q,$ esta regra permite concluir a proposição $p\wedge q$ ou $p\wedge q.$

Simbolicamente:

$\Largep,\,q\vdash p\wedge q$

ou

$\Large\text{ p,\,q\vdash q\wedge p .}$

Portanto, aplicando as três regras mencionadas, obtemos a seguinte demonstração:

$\Large\boxed{\begin{array}{lll}1.&R\rightarrow S&\text{(premissa)}\\2.& P\wedge R&\text{(premissa)}\\3.&P\rightarrow Q&\text{(premissa)}\\4.&R&\text{(2 SIMP)}\\5.&P&\text{(2 SIMP)}\\6.&Q&\text{(3,5 MP)}\\7.&S&\text{(1,4 MP)}\\8.&Q\wedge S&\text{(6,7 CONJ)}\end{array}}$

Para ver uma questão semelhante, acesse: brainly.com.br/tarefa/48032070.