Question

Seja a equação diferencial 2 y ′′ − 4 y ′ + 2 y = 0 . Sabe-se que y = e x p ( x ) e y = x e x p ( x ) são soluções desta equação diferencial. Determine a alternativa que apresenta uma solução da equação diferencial. e x + 2 e − x ( 2 + x ) e x x 2 − 2 x + 1 l n ( x ) − x 2 c o s x − s e n x

Answer 1

Resposta:

Uma solução particular é dada pelas funções $y_1=e^x$ e $y_2=x\cdot e^x$ ou qualquer outra combinação linear entre y₁ e y₂.

Explicação passo a passo:

Como os coeficientes são todos reais e constantes podemos encontrar a solução da equação diferencial homogênea dada utilizando a sua equação característica:

ay'' + by' + cy = 0 ⇒ ar² + br + c = 0

Dessa forma:

2y'' - 4y' + 2y = 0 ⇒ 2r² - 4r + 2 = 0 ⇒ 2(r² - 2r +1) = 0 ⇒ (r - 1)² = 0 ⇒ r = 1

Como a equação do segundo característica possui uma raiz real de multiplicidade 2, as soluções da EDO são da forma:

$y=e^{rx}$ e $y=x\cdot e^{rx}$ como r = 1 temos:

$y_1=e^x$ e $y_2=x\cdot e^x$

ou qualquer outra combinação linear entre y₁ e y₂.

$y=c_1y_1+c_2y_2\\\\y=c_1e^x+c_2xe^x$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo: