Question

De uma altura de 100m solta-se uma pedra e ao mesmo tempo, lança-se para cima da superfície da terra uma outra pedra. Quando as pedras se cruzam, elas têm a mesma velocidade em módulo. A que distância, em metros, da superfície as pedras se cruzam? g= 10 m/s² ​

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ Estas pedras se cruzam aos 75 metros de altura. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos utilizar a fórmula do sorvetão e a função horária da velocidade.⠀⭐⠀

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⠀⠀⠀☔⠀Pelas equações da aceleração média e da velocidade média podemos deduzir uma função horária da posição para movimentos retilíneos uniformemente variados (também chamada de fórmula do sorvetão), encontrando assim um equação da dinâmica que relaciona as posições inicial e final, a velocidade inicial, a aceleração e o tempo analisado:

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                 $\gray{\boxed{~~\begin{array}{lcr}\\&\Large\pink{\underline{\bf~~~~F\acute{o}rmula~do~sorvet\tilde{a}o~~~~}}&\\\\\\\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~I)~~Rearranjando~a_m~}~~\spadesuit}&\\\\&\orange{\sf a_m = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v_f - v_i}{t_f - 0}}&\\\\&\boxed{\orange{\sf v_f = v_i + a_m \cdot t_f\qquad\red{\sf\footnotesize(func_{\!\!,}\tilde{a}o~hor\acute{a}ria~da~velocidade)}}}&\\\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~somamos~v_i~em~ambos~os~lados~}~~\spadesuit}&\\\\&\orange{\sf v_f + v_i = 2 \cdot v_i + a_m \cdot t_f }&\\\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~e~dividimos~ambos~os~lados~por~2~}~~\spadesuit}&\\\\&\orange{\sf v_m = \dfrac{v_f + v_i}{2} = v_i + \dfrac{ a_m \cdot t_f}{2}}\\\\&\green{\sf\clubsuit~~\underline{~II)~~Rearranjando~v_m~}~~\clubsuit}&\\\\&\orange{\sf v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{s_f - s_i}{t_f - 0}}&\\\\&\boxed{\orange{\sf s_f = s_i + v_m \cdot t_f\quad\:\:\:\red{\sf\:\footnotesize(func_{\!\!,}\tilde{a}o~horaria~da~posic\tilde{a}o)}}}&\\\\&\green{\sf\blacklozenge~~\underline{~III)~~De~I)~em~II)~temos~}~~\blacklozenge}&\\\\&\orange{\sf s_f = s_i + \left(v_i + \dfrac{a_m \cdot t_f}{2}\right) \cdot t_f}&\\\\\\&\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf s(t) = s_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}&\\\\\end{array}~~}}$

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⌚ Hora da matemágica✍

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⠀⠀➡️⠀Seja tc o instante de tempo que as pedras se cruzam, então pela fórmula do sorvetão:

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                          $\Large\gray{\boxed{\sf~~\begin{array}{c}~\\\pink{\underline{\underline{\text{\huge \bf\subset\emptyset\,\eta\,\pi\,\alpha\,\ \qquad(I) }}}}\\\\\\\blue{\begin{cases}\sf~s_1(t_c) = 100 - 5 \cdot t_c^2~[m]\\\\ \sf~s_2(t_c) = v_2 \cdot t_c - 5 \cdot t_c^2~[m]\\\end{cases}}\\\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\orange{\bf s_1 = s_2~em~t_c:}\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\blue{\sf 100 - 5 \cdot t_c^2 = v_2 \cdot t_c - 5 \cdot t_c^2}\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\blue{\sf 100 = v_2 \cdot t_c}\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\\\green{\boxed{\blue{\sf~v_2 = \dfrac{100}{t_c}~[m/s]}}~\checkmark}\\\\\end{array}~~}}$

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⠀⠀➡️⠀Já pela função horária da velocidade:

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                           $\Large\gray{\boxed{\sf~~\begin{array}{c}~\\\pink{\underline{\underline{\text{~\huge \bf\subset\emptyset\,\eta\,\pi\,\alpha\,\ \qquad(II)~ }}}}\\\\\\\blue{\begin{cases}\sf~v_1(t_c) = -10t_c~[m/s]\\\\ \sf~v_2(t_c) = \dfrac{100}{t_c} - 10t_c~[m/s]\\\end{cases}}\\\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\orange{\bf |v_1| = |v_2|~em~t_c:}\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\blue{\sf 10t_c = \dfrac{100}{t_c} - 10t_c}\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\blue{\sf t_c^2 = 5}\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\blue{\sf \sqrt{t_c^2} = \pm \sqrt{5}}\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\\\green{\boxed{\blue{\sf~t_c = \sqrt{5}~[s]}}~\checkmark}\\\\\end{array}~~}}$

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⠀⠀➡️⠀Retornando este tempo nas fórmulas do sorvetão:

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$\blue{\begin{cases}\text{ \sf~s_1(\sqrt{5}) = 100 - 5 \cdot (\sqrt{5})^2~~~\pink{\Longrightarrow}~\green{\boxed{\blue{\sf 75~[m]}}} }\\\\ \text{ \sf~s_2(\sqrt{5}) = \dfrac{100}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5} - 5 \cdot (\sqrt{5})^2~~~\pink{\Longrightarrow}~\green{\boxed{\blue{\sf 75~[m]}}} }\end{cases}}$ ✅

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⠀⠀☀️ Leia mais sobre funções horárias:

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                                     https://brainly.com.br/tarefa/48564462 ✈  

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