Question

Determine a expressão correspondente para cos 2x + sen 2x, sabendo que tg x=t.

Answer 1

Resposta:

A expressão é $E=\dfrac{1+2t-t^2}{t^2+1}$.

Explicação passo a passo:

Para resolver esta questão vamos utilizar as relações trigonométricas do arco duplo.

sen 2x = 2 . sen x . cos x

cos 2x = 2 . cos² x - 1

Sabendo que tan x = t, podemos construir um triângulo retângulo como o da figura abaixo.

Onde,

$sen \ x = \dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}\\\\cos \ x = \dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}$

Neste passo, vamos reescrever a expressão substituindo pelas equivalências do arco duplo.

E = cos 2x + sen 2x

E = 2 . cos² x - 1 + 2 . sen x . cos x

Por fim, substituindo os valores de sen x e cos x temos:

$E = 2\cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}\right)^2-1+2\cdot \dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}\\\\E=\dfrac{2}{t^2+1}-1+\dfrac{2t}{t^2+1}\\\\E=\dfrac{1+2t-t^2}{t^2+1}$