Question

Calcule tg (x + y) .tg(x - y), sabendo-se que tg²x= 9/16 e tg²y = 1/16

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$\sf tg {}^{2} (x) = \frac{9}{16} \: \: e \: \: tg {}^{2} (y) = \frac{1}{16}$

A partir destas informações, devemos calcular o valor de $\sf tg(x+y) . tg(x-y)$. Primeiro vamos lembrar das fórmulas de adição de arcos para a tengente, que são:

$\sf tg(x + y) = \frac{ tg(x) + tg(y)}{1 - tg(x).tg(y)} \: \: e \: \: tg(x - y) = \frac{ tg(x) - tg(y)}{1 + tg(x).tg(y)}$

Substituindo essas informações, temos:

$\sf \left(\frac{ tg(x) + tg(y)}{1 - tg(x).tg(y)} \right) \: . \: \left(\frac{ tg(x) - tg(y)}{1 + tg(x).tg(y)} \right)$

Note que temos um produto notável, conhecido como o produto da soma pela diferença, onde:

$\sf (x + y).(x - y) = x {}^{2} - y {}^{2}$

Aplicando essa lógica no problema, temos:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \frac{ tg {}^{2} (x) - tg {}^{2}(y) }{1 - tg {}^{2}(x).tg {}^{2} (y)}$

Substituindo as informações dadas no enunciado:

$\sf \frac{\left( \frac{9}{16} \right) ^{} \: - \:\left( \frac{1}{16} \right) {}^{} }{1 -\left( \frac{9}{16} \right) \: . \:\left( \frac{1}{16} \right)} \: \to \: \frac{ \frac{8}{16} }{1 - \frac{9}{256} } \\ \\ \sf \frac{ \frac{8}{16} }{ \frac{256 - 9}{256} } \: \to \: \frac{ \frac{8}{16} }{ \frac{247}{256} } \: \to \: \frac{8}{16} . \frac{256}{247} \\ \\ \sf \frac{2048}{3952} \: \to \: \boxed{ \boxed{ \sf \frac{128}{247} }}$

Portanto este é o resultado.