Matéria: Matemática
Autor: ivonicesousala
Perguntado 3 anos atrás

Marque a alternativa que corresponde ao valor da integral a seguir:
a. -2
b. 0
c. 2
d. -1

Anexos:

Respostas

respondido por: ComandoAlfa

$\blacksquare$ Primeiro, vamos reescrever a integral usando a seguinte propriedade:

$\boxed{\int _{a}^{b} f( x) \pm g( x) dx=\int _{a}^{b} f( x) dx\pm \int _{a}^{b} g( x) dx}\\\\\\\therefore \int _{1}^{e}\left(\frac{3}{x} -\ln x\right) dx=\int _{1}^{e}\frac{3}{x} dx-\int _{1}^{e}\ln xdx$

$\blacksquare$ Vamos calcular a integral indefinida $\int \frac{3}{x}dx$ :

$\Large\begin{array}{l}\int \frac{3}{x} dx=\int 3\cdotp x^{-1} dx=\\\\=3\int x^{-1} dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[ \because \int axdx=a\int xdx\right]\\\\=3\cdotp lnx+c\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[ \because \int x^{-1} dx=\ln x+c\right]\end{array}$

$\blacksquare$ Para aplicar os limites de integração, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\Large{\boxed{\int_a^bf(x)dx=\Phi(b)-\Phi(a)}}$

Em que $\Phi(x)$ é a primitiva ou antiderivada de $f(x)$ . Não precisamos colocar a constante de integração ao calcular uma Integral Definida. Assim,

$\Large\begin{matrix}\int _{1}^{e}\frac{3}{x} dx=3\cdotp (\ln e-\ln 1) =3(1-0)=3\end{matrix}$

$\blacksquare$ Agora, para a integral $\int\ln xdx=\int1\cdot \ln x dx$ , usaremos a Técnica da Integração por Partes:

$\Large{\boxed{\int udv=uv-\int vdu}}$

Faremos as seguintes substituições:

$\Large\begin{cases}u=\ln x\Longrightarrow \frac{du}{dx} =\frac{1}{x} \Longrightarrow du=\frac{dx}{x}\\dv=1dx\Longrightarrow v=x\end{cases}$

$\Large \begin{array}{l}\therefore\int \ln xdx=\ln x\cdotp x-\int \cancel{x}\frac{dx}{\cancel{x}} =\\\\=x\ln x-x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[ \because \int dx=x+c\right]\\\\=x(\ln x-1)\end{array}$