Question

Determine k, de modo que a reta 3x = 2ky – 6 seja perpendicular à reta 3y = –5x + 2.

Answer 1

Temos as seguintes equações:

$\sf 3x = 2ky - 6 \: \: e \: \: 3y = - 5x + 2$

Para determinar o valor de "k", de modo que ele torne a primeira equação da reta perpendicular a segunda, devemos lembrar da "propriedade" das retas perpendiculares, que é:

• "Para duas retas serem perpendiculares, o coeficiente de uma deve ser o inverso do oposto da outra."

Expressando essa frase matematicamente:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \sf m_s = \frac{-1}{m_r }\: \: ou \: \: m_r= \frac{-1}{m_s}$

Portanto, vamos iniciar isolando o "y" das duas equações para assim termos os coeficiente angulares de ambas:

$\sf 2ky = 3x + 6 \: \: e \: \: 3y = - 5x + 2 \\ \\ \sf y = \frac{3}{2k}x + \frac{6}{2k} \: \: e \: \: y = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3}$

Observando essas expressões, podemos dizer que os coeficientes são:

$\sf m_1 = \frac{3}{2k} \: \: e \: \: m_2 = - \frac{5}{3}$

Substituindo esses dados na relação falada anteriormente:

$\sf \frac{3}{2k} = \frac{ - 1}{ - \frac{5}{3} } \: \: \to \: \: \frac{3}{2k} = \frac{ - 1}{1} . \frac{ - 3}{5} \\ \\ \sf \frac{3}{2k} = \frac{3}{5} \: \: \to \: \: 6k = 15 \: \: \to \: \: k = \frac{15}{6} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{\sf k = \frac{5}{2} }}}$