Question

Resolva: $\large\displaystyle\begin{aligned} \sum _{k=1}^{\infty} \left( \frac{k}{(k^4+4)} \right) \end{aligned}$

Answer 1

O valor da soma é

                                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{k}{k^4+4} = \frac{3}{8}\\ \\\end{gathered}$

E o valor da soma parcial

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum\limits_{k = 1}^{n}\frac{k}{k^4+4} = \frac{3n^4+6n^3+5n^2+2n}{8\left(n^4+2n^3+3n^2+2+2\right)}\end{gathered}$

Primeiramente vamos expandir a expressão em frações parciais, utilizando da seguinte identidade (Identidade de Sophie-Germain)

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}a^4 + 4b^4 = \left(a^2 - 2ab + 2b^2\right)\left(a^2 + 2ab + 2b^2\right)\end{gathered}$

Com isso podemos escrever k⁴+4 como

                              $\large\displaystyle\begin{gathered}k^4 + 4 = \left(k^2 - 2k + 2\right)\left(k^2 + 2k+ 2\right)\end{gathered}$

Portanto

                        $\large\displaystyle\begin{gathered}\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{k}{k^4+4} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{\left(k^2 - 2k + 2\right)\left(k^2 + 2k + 2\right)}\end{gathered}$

Agora podemos expandir essa expressão em frações parciais, assim obtendo              

                  $\large\displaystyle\begin{gathered}\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{k}{k^4+4} = \frac{1}{4}\left[ \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2 - 2k + 2} - \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2 + 2k + 2}\right]\end{gathered}$

Agora vamos fazer uma análise dos denominadores, tomemos duas funções auxiliares, f e g.

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = x^2 - 2x + 2 \qquad g(x) = x^2 + 2x + 2\end{gathered}$

Note que o eixo de simetria das funções são x = 1 e x = -1 respectivamente, isso acontece pois temos o mesmo valor de a e valores opostos de b, ou seja, a função f é a função g espelhada em x = 0, dessa forma, podemos dizer que

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = g(x - 2) \Leftrightarrow f(x + 2) = g(x)\end{gathered}$

Com isso ao realizar a subtração, a grande maioria dos termos irão se anular, podemos ver isso da seguinte maneira:

$\large\displaystyle\begin{aligned}&\sum\limits_{k = 1}^{n} f(k) = f(1) + f(2) + f(3)+ \ldots +f(n-2) + f(n-1) + f(n)\\ \\&\sum\limits_{k = 1}^{n} g(k) = g(1) + g(2) + g(3)+ \ldots +g(n-2) + g(n-1) + g(n)\\ \\\end{alinged}$

Agora utilizando a relação de simetria entre as funções podemos escrever a função g como

$\large\displaystyle\begin{aligned}&\sum\limits_{k = 1}^{n} f(k) = f(1) + f(2) + f(3)+ \ldots +f(n-2) + f(n-1) + f(n)\\ \\&\sum\limits_{k = 1}^{n} g(k) = f(3) + f(4) + f(5)+ \ldots +f(n) + f(n+1) + f(n+2)\\ \\\end{alinged}$

Subtraindo a equação de cima pela de baixo temos

           $\large\displaystyle\begin{aligned}&\sum\limits_{k = 1}^{n} f(k) - \sum\limits_{k = 1}^{n} g(k) = f(1) + f(2) +f(n+1) + f(n+2)\\ \\\end{alinged}$

Ou ainda voltando os últimos dois termos para a função g, obtemos

              $\large\displaystyle\begin{aligned}&\sum\limits_{k = 1}^{n} f(k) - \sum\limits_{k = 1}^{n} g(k) = f(1) + f(2) +g(n-1) + g(n)\\ \\\end{alinged}$

Com isso temos provamos algo importante, não precisamos somar todos os valores, apenas os dois primeiros termos do somatório a esquerda e os dois últimos do somatório a direita, porém                  

                                               $\large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{g(x)} = 0\end{gathered}$

Portanto podemos desconsiderar os valores do somatório a direita quando k tende a infinito,  precisamos calcular os valores apenas para k = 1 e k = 2 no somatório a esquerda, sendo assim

                               $\large\displaystyle\begin{gathered}\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{k}{k^4+4} = \frac{1}{4}\left[ \sum\limits_{k = 1}^{2} \frac{1}{k^2 - 2k + 2} \right]\\ \\\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{k}{k^4+4} = \frac{1}{4}\left[ 1+ \frac{1}{2}\right]\\ \\\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{k}{k^4+4} = \frac{3}{8}\\ \\\end{gathered}$

Bônus:

A partir da fórmula que descobrimos:

            $\large\displaystyle\begin{aligned}&\sum\limits_{k = 1}^{n} f(k) - \sum\limits_{k = 1}^{n} g(k) = f(1) + f(2) +g(n-1) + g(n)\\ \\\end{alinged}$

Podemos dizer qual é a soma parcial para um limite superior n qualquer, fazendo:

              $\large\displaystyle\begin{gathered}\sum\limits_{k = 1}^{n}\frac{k}{k^4+4} = \frac{1}{4}\left[ \sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2 - 2k + 2} - \sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2 + 2k + 2}\right]\end{gathered}$

Aplicando tudo que já foi discutido obtemos

      $\large\displaystyle\begin{gathered}\sum\limits_{k = 1}^{n}\frac{k}{k^4+4} = \frac{3}{8} -\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(n-1\right)^2 + 2\left(n-1\right) + 2} +\frac{1}{n^2 + 2n + 2} \right)\end{gathered}$

Infelizmente terei que pular as simplificações da expressão, porém o resultado final é

                           $\large\displaystyle\begin{gathered}\sum\limits_{k = 1}^{n}\frac{k}{k^4+4} = \frac{3n^4+6n^3+5n^2+2n}{8\left(n^4+2n^3+3n^2+2n+2\right)}\end{gathered}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários