Question

Sabemos que o logaritmo de (a – b) na base 2 é igual a 16 e que o logaritmo de (a + b), também na base 2, é igual a 8. Sabendo disso, podemos dizer que o logaritmo de (a² - b²) na base 2 é igual a:

a) 20.

b) 24.

c) 30.

d) 36.

e) 52.

Answer 1

Há diferentes formas de resolvermos este exercício, mas a mais simples, provavelmente, é identificar a presença do produto notável "produto da soma pela diferença":  $\sf \boxed{\sf a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)}$

Com isso, podemos reescrever o logaritmo que foi solicitado no enunciado como:

$\sf \log_{2}\left(a^2-b^2\right)~=~\log_{2}\Big((a+b)\cdot (a-b)\Big)$

Agora, com auxílio da propriedade do logaritmo do produto (mostrada abaixo), conseguimos calcular o logaritmo em função dos valores fornecidos no enunciado.

$\sf Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\sf \log_b\left(a\cdot c\right)=\log_ba+\log_bc}$

Calculando o logaritmo:

$\sf \log_2\left(a^2-b^2\right)~=~\log_2\left(a+b\right)~+~\log_2\left(a-b\right)\\\\\\\sf \log_2\left(a^2-b^2\right)~=~8~+~16\\\\\\\boxed{\sf \log_2\left(a^2-b^2\right)~=~24}~~\Rightarrow~Letra~B$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$