Question

Quando dividimos um determinado número natural por 9, deixa resto 5. E quando dividimos ele por 3, deixa resto 2. Sabendo-se que a soma dos quocientes das duas divisões é 9, determine o valor do número que foi dividido.

Answer 1

Olá Tobias, acompanhe a solução.

Reescrevendo,

Deixemos nosso número natural ser $n$, os quociente das divisões serem $a$ e $b$ e "$...X$" denotar o resto da nossa divisão.

Então,

$\frac{n}{9}=a...5$

$\frac{n}{3}=b...2$

$a+b=9$

Analisemos o caso de $17:5$:

$\frac{17}{5}=3...2$

Por lógica,

$17=5 \cdot3+2$

Aplicando isto às nossas divisões:

$\frac{n}{9}=a...5\\n=9\cdot a+5=9a+5$, e

$\frac{n}{3}=b...2\\n=3\cdot b+2=3b+2$

Agora, nós temos um sistema de $3$ equações:

$n=9a+5\\n=3b+2\\a+b=9$

Analisando, se $n=9a+5$ e $n=3b+2$, então $9a+5=3b+2$, ou seja, $9a-3b=-3$, dividindo ambos os lados por $3$, temos que $3a-b=-1$.

Assim, nós passamos para um sistema de $2$ incógnitas:

$3a-b=-1\\a+b=9$

Pelo Método da Adição, podemos adicinar ambos os lados das equações (adicionamos o primeiro membro da primeira equação com o primeiro membro da segunda equação, e o segundo membro da primeira equação com o segundo membro da segunda equação).

Estamos fazendo isto para "cancelar" a incógnita $b$. Veja:

$3a-b+(a+b)=-1+(9)$

Simplificando,

$3a-b+a+b=-1+9\\3a+a+b-b=8$

Como $b-b=0$, conseguimos eliminar a incógnita $b$. Passamos assim para um sistema de $1$ equação, ou seja, uma simples equação do primeiro grau:

$3a+a=8\\4a=8\\\frac{4a}{4} =\frac{8}{4}\\a=2$

Podemos substituir $a=2$ em qualquer uma das equações que obteremos o mesmo resultado. Como buscamos sempre facilitar nossos cálculos, vamos substituir $a=2$ em $a+b=9$, para isolar a incógnita $b$ e descobrir o seu valor:

$a+b=9\\(2)+b=9\\b+2=9\\b=9-2\\b=7$

Então, nós ja temos que $a=2$ e $b=7$.

Vamos agora substituir esses valores em uma das nossas equações originais. Se substituirmos $a=2$ em $n=9a+5$, temos:

$n=9a+5\\n=9\cdot(2)+5\\n=9\cdot2+5\\n=18+5\\n=23$

Se substituirmos $b=7$ em $n=3b+2$, obtemos:

$n=3b+2\\n=3\cdot(7)+2\\n=3\cdot7+2\\n=21+2\\n=23$

Desta forma, podemos ver que não importa em qual equação nós substituímos nossos valores, o resulltado será sempre o mesmo: $n=23$.

Portanto,  o valor do número que foi dividido é $23$.

Espero ter ajudado, bons estudos.