Question

Em uma reunião de família, todas as pessoas presentes se abraçaram, totalizando 55 abraços. Cada pessoa abraçou uma única vez cada um dos outros familiares. Assuma-se que o abraço seja um cumprimento que envolve apenas duas pessoas.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
Caso 2 familiares a mais estivessem presentes no evento, seria correto afirmar que, com certeza, ao menos duas pessoas fazem aniversário no mesmo mês.

essa afirmação é verdadeira, ou falsa?

eu n consigo entender essa lógica pfvr alguém me explica

Answer 1

Isso aí é uma questão que mistura Combinação e Princípio da Casa dos Pombos

Primeiramente devemos saber quantas pessoas que deram esses 55 abraços aí.

Dá pra descobrir se usar a fórmula da combinação (usarei a forma simplificada)

São X pessoas, que vão dar 55 abraços

Um abraço, como diz a própria questão é uma interação entre 2 pessoas

A questão diz que cada pessoa abraça cada pessoa apenas uma única vez, ou seja, sem abraços duplos entre as mesmas pessoas.

E como se, por exemplo, se a pessoa A abraçar primeiro a pessoa B, isso quer dizer que a pessoa B não pode mais abraçar a pessoa A

Logo isso é uma Combinação, já que a ordem dos abraços não interessa.

Logo vai ser uma combinação de X pessoas, tomadas a 2, dando como resultado 55 abraços.

Cₓ² = 55

Resolvendo isso, teremos:

Cₓ² = $\frac{x.(x-1)}{2} = 55$

Cₓ² = -x² - x = 110

Cₓ² = -x² - x - 110 = 0 (equação quadrática)

x² - x - 110 = 0 ⇒ b² - 4.(a).(c) = ∆ ⇒ (-1)² - 4(1).(-110) = 1 + 440 = 441 (∆) ⇒ -b±√∆ / 2.a ⇒ -(-1) ± √441 / 2.(1) ⇒ 1 ± 21 / 2 ⇒ x1 : 1 + 21 / 2 = 22/2 = 11 ⇒ x2: 1 - 21 / 2 = -20 / 2 = -10

Como não existe número negativo de pessoas, a única raiz aceitável é 11

Logo 11 pessoas se dão 55 abraços.

- - -

Daí ele fala que mais 2 pessoas vão se abraçar; ficarão então 13 familiares

Serão 13 pessoas

Daí ele diz que "ao menos duas pessoas fazem aniversário no mesmo mês"

Essa afirmação é correta, veja só: Temos 13 pessoas nessa reunião, e todas elas fazem aniversário em algum mês do ano. Temos no mínimo 1 pessoa "sobrando" pra fazer aniversário, já que o ano tem 12 meses. Distribua 1 pessoa para cada mês do ano, e veja só, vai sobrar 1 pessoa. Ou seja, não interessa que mês você coloque ela que pelo menos 2 pessoas irão fazer aniversário em algum mesmo mês, devido a quantidade de pessoas nessa reunião. Qualquer distribuição que você faça torna correta a afirmação. Esse aí é o Princípio da Casa dos Pombos, onde você assume a "pior" situação possível e analisa a distribuição.