Question

Se cos x = 1/4, o valor de a na igualdade sen 2x = a.tg x será:

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\sf sen(2x) = a.tg(x) \: \: e \: \: cos(x) = \frac{1}{4}$

Esta questão será bastante extensa. Primeiro vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria, dado que sabemos o valor do cos:

$\sf sen {}^{2} (x) + cos {}^{2} (x) = 1 \\ \sf sen {}^{2} (x) + \left( \frac{1}{4} \right)^{2} = 1 \\ \sf sen {}^{2} (x) + \frac{1}{16} = 1 \\ \sf sen {}^{2} (x) = 1 - \frac{1}{16} \\ \sf sen {}^{2} (x) = \frac{15}{16} \\ \sf sen(x) = \pm \frac{ \sqrt{15} }{4}$

Vamos apenas utilizar o valor positivo do seno. A partir desse valor e do Cos(x), podemos encontrar a tangente de x:

$\sf tg(x) = \frac{sen(x)}{ cos(x)} \: \: \to \: \: tg(x) = \frac{ \frac{ \sqrt{15} }{4} }{ \frac{1}{4} } \\ \\ \sf tg(x) = \sqrt{15}$

Substituindo os dados na relação e utilizando a relação sen(2x) = 2.sen(x).cos(x):

$\sf 2. \frac{ \sqrt{15} }{4} . \frac{1}{4} = a. \sqrt{15} \: \to \: \\ \\ \sf \frac{ \sqrt{15} }{8} = a. \sqrt{15} \\ \\ \boxed{ \sf a = \frac{1}{8} }$

Espero ter ajudado