Question

por favor utilizando o teorema de laplace,o determinante da matriz A abaixo é:
alguém pode me ajudar? urgente​

Answer 1

Calculando os determinantes, obtém-se: 02) c) det(A) = – 11 e 03) c) det(D) = – 1.

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Considerações pré-resolução

A expansão em cofatores por Laplace no cálculo de determinantes, em matrizes quadradas de ordem ≥ 2, consiste em escolher uma fileira (linha ou coluna) e fazer a soma dos produtos dos elementos dessa fila por seus cofatores correspondentes.

O cofator de um elemento $\tt a_{ij}$ é dado por  $\tt cof(a_{ij})=(-\,1)^{i+j}\cdot M_{ij}$, onde $\tt M_{ij}$ é o menor complementar de $\tt a_{ij}$, que é uma nova matriz obtida ao eliminar a linha e a coluna que $\tt a_{ij}$ se situa.

Resolução

Q.02) A grande dica que dou é escolher uma fila que contenha a maior qntde de 0 (zero) possível para reduzir os cálculos. Neste caso estarei escolhendo a 2ª linha, daí:

$\mathsf{A}=\left[\begin{array}{ccc}\tt1&\tt1&\tt2\\\tt1&\tt0&\tt9\\\tt0&\tt3&\tt\!\!\!-\,10\end{array}\right]\Rightarrow\tt det(\mathsf{A})=\left|\begin{array}{ccc}\tt1&\tt1&\tt2\\\boxed{\tt1}&\boxed{\tt0}&\boxed{\tt9}\\\tt0&\tt3&\tt\!\!\!-\,10\end{array}\right|$

$\tt det(\mathsf{A)}=1\cdot cof(a_{21})+0\cdot cof(a_{22})+9\cdot cof(a_{23})$

$\tt det(\mathsf{A)}=(-\,1)^{2+1}\cdot M_{21}+0+9\cdot(-\,1)^{2+3}\cdot M_{23}$

$\tt det(\mathsf{A)}=(-\,1)^3\cdot\left|\begin{array}{ccc}\tt/\!\!\!1&\tt1&\tt2\\\tt/\!\!\!1&\tt/\!\!\!0&\tt/\!\!\!9\\\tt/\!\!\!0&\tt3&\tt\!\!\!-\,10\end{array}\right|+9\cdot(-\,1)^5\cdot\left|\begin{array}{ccc}\tt1&\tt1&\tt/\!\!\!2\\\tt/\!\!\!1&\tt/\!\!\!0&\tt/\!\!\!9\\\tt0&\tt3&\tt\!\!\!-\,/\!\!\!10\end{array}\right|$

$\tt det(\mathsf{A)}=-\left|\begin{array}{cc}\tt1&\tt2\\\tt3&\tt\!\!\!-\,10\end{array}\right|-9\left|\begin{array}{cc}\tt1&\tt1\\\tt0&\tt3\end{array}\right|$

$\tt det(\mathsf{A)}=-[1\cdot(-\,10)-3\cdot2]-9(1\cdot3-0\cdot1)$

$\tt det(\mathsf{A)}=-(-\,10-6)-9(3-0)$

$\tt det(\mathsf{A)}=16-27$

$\boxed{\tt det(\mathsf{A)}=-\,11}$

⇒ alternativa c)

Q.03) A diferença aqui é que essa matriz possui uma linha e uma coluna a mais que a anterior; porém, note que ela é ''abençoada'' por ter muitos zeros em sua constituição, pois teremos apenas um único cofator para calcular se encolhermos a 2ª ou 3ª linha. Estarei escolhendo a 3ª linha, então observe:

$\mathsf{D}=\left[\begin{array}{cccc}\tt1&\tt1&\tt1&\tt\!\!\!-\,1\\\tt0&\tt1&\tt0&\tt0\\\tt1&\tt0&\tt0&\tt0\\\tt\!\!\!-\,1&\tt2&\tt0&\tt1\end{array}\right]\Rightarrow\tt det(\mathsf{D})=\left|\begin{array}{cccc}\tt1&\tt1&\tt1&\tt\!\!\!-\,1\\\tt0&\tt1&\tt0&\tt0\\\boxed{\tt1}&\boxed{\tt0}&\boxed{\tt0}&\boxed{\tt0}\\\tt\!\!\!-\,1&\tt2&\tt0&\tt1\end{array}\right|$

$\tt det(\mathsf{D})=1\cdot cof(d_{31})+0\cdot cof(d_{32})+0\cdot cof(d_{33})+0\cdot cof(d_{34})$

$\tt det(\mathsf{D})=(-\,1)^{3+1}\cdot M_{31}+0+0+0$

$\tt det(\mathsf{D})=(-\,1)^4\cdot\left|\begin{array}{cccc}\tt/\!\!\!1&\tt1&\tt1&\tt\!\!\!-\,1\\\tt/\!\!\!0&\tt1&\tt0&\tt0\\\tt/\!\!\!1&\tt/\!\!\!0&\tt/\!\!\!0&\tt/\!\!\!0\\\tt\!\!\!-\,/\!\!\!1&\tt2&\tt0&\tt1\end{array}\right|$

$\tt det(\mathsf{D})=\left|\begin{array}{ccc}\tt1&\tt1&\tt\!\!\!-\,1\\\tt1&\tt0&\tt0\\\tt2&\tt0&\tt1\end{array}\right|$

Novamente por Laplace, escolherei a 2ª linha:

$\tt det(\mathsf{D})=\big[det(M_{31})=1\cdot cof(m_{21})+0\cdot cof(m_{22})+\cdot cof(m_{23})\big]$

$\tt det(\mathsf{D})=(-\,1)^{2+1}\cdot M_{21}+0+0$

$\tt det(\mathsf{D})=(-\,1)^3\cdot\left|\begin{array}{ccc}\tt/\!\!\!1&\tt1&\tt\!\!\!-\,1\\\tt/\!\!\!1&\tt/\!\!\!0&\tt/\!\!\!0\\\tt/\!\!\!2&\tt0&\tt1\end{array}\right|$

$\tt det(\mathsf{D})=-\left|\begin{array}{cc}\tt1&\tt\!\!\!-\,1\\\tt0&\tt1\end{array}\right|$

$\tt det(\mathsf{D})=-[1\cdot1-(-\,1)\cdot0]$

$\tt det(\mathsf{D})=-(1-0)$

$\boxed{\tt det(\mathsf{D})=-\,1}$

⇒ alternativa c)

Lembrando que o teorema de Laplace também se aplica em matrizes 2x2, só que para mim não faz sentido usá-lo nelas pois dá para resolvê-las de cabeça... De qualquer forma, o método que utilizei é simples: basta fazer o produto da primeira diagonal e subtrair do produto da segunda diagonal.

Concluindo, nas questões 02 e 03 encontra-se a alternativa c) como resposta.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.