Question

Resolva a equação diferencial homogênea .(xy - x^2)dx - x^2dy=0

Answer 1

Temos a seguinte informação:

$\sf (xy -x {}^{2} )dx - x {}^{2} dy = 0$

Para uma equação ser dita homogênea M e N devem possuir o mesmo grau, sendo M e N dados pela expressão $\sf M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$. Aplicando esse conceito na nossa expressão para a verificação, teremos que:

$\sf M(tx,ty) = tx.ty -(tx) {}^{2} \\ \sf M(tx,ty) = t {}^{2} .xy - t {}^{2}.x {}^{2} \\ \sf M(tx,ty) = t {}^{2} .(xy - x {}^{2} ) \: \\ \sf M(tx,ty) = t {}^{2} .M(x,y) \: \: \: \: \:$

Tendo verificado de M, vamos verificar a N:

$\sf N(tx,ty) = (tx) {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf N(tx,ty) = t {}^{2} x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf N(tx,ty) = t {}^{2} .N(x,y)$

Portanto, podemos dizer que essa equação é sim homogênea de grau 2. Para iniciar a aplicação do método, devemos fazer uma substituição, fazendo isso, direi que $y = u.x$, então:

$\sf (xy - x {}^{2} )dx - x {}^{2} dy = 0\: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf (x.(u.x) - x {}^{2} )dx - x {}^{2} dy = 0 \\ \sf (x {}^{2} .u - x {}^{2} )dx - x {}^{2} dy = 0 \: \: \: \: \:$

Para substituir a diferencial de y (dy), vamos derivar a expressão que usamos para a substituição:

$\sf y = u.x \: \to \: \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} .x + u. \frac{dx}{dx} \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} .x + u \: \: \underline{ou} \: \: y' = u'.x + u$

Para podermos usar esse dado, vamos multiplicar toda a expressão por 1/dx:

$\sf (x {}^{2} .u - x {}^{2} )dx \: . \: \frac{1}{dx} - x {}^{2} dy \: . \: \frac{1}{dx} = 0 \: . \: \frac{1}{dx} \\ \\ \sf x {}^{2} .u - x {}^{2} - x {}^{2} . \frac{dy}{dx} = 0$

Substituindo a informação:

$\sf x {}^{2}.u - x {}^{2} - x {}^{2} .(u'.x + u) = 0 \\ \sf x {}^{2} .u - x {}^{2} - x {}^{3} .u' + x {}^{2} .u = 0 \\ \sf 2x {}^{2} .u - x {}^{2} - x {}^{3} .u' = 0$

Agora vamos multiplicar toda a equação por 1/x³:

$(\sf 2x {}^{2} .u - x {}^{2} - x {}^{3} .u' ) \: . \: \frac{1}{x {}^{3}} = 0 \: . \: \frac{1}{x {}^{3} } \\ \\ \sf \frac{2u}{x} - \frac{1}{x} - u' = 0 \\ \\ \sf \sf \frac{2u - 1}{x} = u' \\ \\ \sf \frac{2u - 1}{x} = \frac{du}{dx} \\ \\ \sf \frac{du}{2u - 1} = \frac{dx}{x}$

Tendo separado as variáveis, vamos aplicar a integral em ambos os lados:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\sf \int \frac{du}{2u - 1} = \int \frac{dx}{x } \: \:$

Resolvendo separadamente as integrais.

• Primeira integral:

$\sf \int \frac{du}{2u - 1} \: \to \: h = 2u - 1 \\ \\ \sf\frac{dh}{du} = 2 \: \to \: \frac{dh}{2} = du \\ \\ \sf \int \frac{ \frac{dh}{2} }{h} = \frac{1}{2} . \ln( |2u - 1| ) + c_{1}$

• Segunda integral:

$\sf \int \frac{dx}{x} = \ln( |x| ) + c_{2}$

Substituindo essas informações encontradas:

$\sf \frac{1}{2} . \ln( |2u - 1| ) + c _{1} = \ln( |x| ) + c _{2} \\ \\ \sf \frac{1}{2} \ln( |2u - 1| ) = \ln( |x| ) + \underbrace{c _{2} - c _{1} } _{A} \\ \\ \sf \frac{1}{2} \ln( |2u - 1| ) = \ln( |x| ) + A \\ \\ \sf \ln( |2u - 1| ) = 2 \ln( |x| ) + A$

Aplicando a propriedade de logarítmos da potência, temos que:

$\sf \ln( |2u - 1| ) = \ln( |x {}^{2} | ) + A$

Utilizando a definição formal de logarítmos:

$\sf |2u - 1| = e {}^{ \ln( |x {}^{2} |) +A } \\ \\ \sf |2u - 1| = e {}^{ \ln( |x {}^{2} | )} .e {}^{A} \\ \\ \sf |2u - 1| = |x {}^{2} | .A$

Embutindo esses módulos apenas na constante:

$\sf 2u - 1 = x {}^{2} .A \: \: \to \: \: 2u = x {}^{2} .A + 1$

Como foi dito anteriormente, y = u.x, ou seja, u = y/x, logo:

$\sf 2. \left( \frac{y}{x} \right) = x {}^{2} .A + 1 \\ \sf 2y = x {}^{3} .A + x \\ \boxed{ \boxed{ \sf y = \frac{x {}^{3} . A + 1 }{2} }}$

Espero ter ajudado