Question

As funções de duas variáveis são como as funções de uma variável: possuem domínio e contradomínio. Domínio de uma função é o conjunto de valores assumidos pelas variáveis, para os quais o valor da função possa ser determinado. Neste sentido, descreva o domínio da função de duas variáveis a seguir:

Answer 1

O domínio desta função está representado no conjunto domínio a seguir: D(f) = {(x, y) ∈ $\mathbb{R}$² ; x² ≤ y² + 16}.

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Para encontrar o domínio de uma função, é imprescindível lembrar das condições. Uma função de duas variáveis que não possui restrição terá o seu domínio em $\mathbb{R}$², i.e., no plano cartesiano. As condições devem ocorrer para funções que possuem frações e/ou raízes de índice par. Em nosso caso, $f\sf (x,\,y) = \sqrt{16-x^2+y^2}$ possui uma raiz quadrada, então a condição que devemos impor é ter seu radicando maior ou igual a zero, pois assim estaremos excluindo os valores que tornam este radicando negativo:

$\sf 16-x^2+y^2\geq0$

$\sf[~\,-x^2\geq -\,y^2-16~~]~\cdot(-\,1)$

$\sf x^2\leq y^2+16$

Então (x, y) pertence ao plano se x² for menor ou igual a y² + 16. Descrevendo isto de forma algébrica no conjunto domínio:

$\boxed{\sf D(f)=\Big\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2~;~x^2\leq y^2+16\Big\}}$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.

Answer 2

Resposta:

D(f) = {(x, y) ∈  ² ; x² ≤ y² + 16}.

Explicação passo a passo:

Para encontrar o domínio desta função, observe as condições.

Se a função de duas variáveis que não tem restrição terá o seu domínio em  ², i.e., no plano cartesiano.

As condições possuem frações ou raízes de índice par?

Neste caso,

f(x,y) = Raiz(16- x² + y²)

Possui raiz quadrada, então o seu radicando "0≤", excluindo os valores que tornam este valor negativo:

16 – x² + y² => 0

[- x² => - y² - 16]*(-1)

x² ≤ y² + 16

Então (x, y) "∈" ao plano se x² for ≤ a y² + 16.

Isto no conjunto domínio:

D(f) ={(x,y) e R^2 ; x^2 =< y^2+16}

Ou seja

D(f) = {(x, y) ∈  ² ; x² ≤ y² + 16}.

O domínio desta função está no conjunto domínio:

D(f) = {(x, y) ∈  ² ; x² ≤ y² + 16}.