• Matéria: Matemática
  • Autor: dunguinhafernandes
  • Perguntado 3 anos atrás

Verifique se {0 , 2 , 4 } é um ideal no anel Z_{6}

Respostas

respondido por: Zadie
4

Para resolver esta questão, inicialmente, vamos relembrar a definição de ideal de um anel.

Ideal

Sejam A um anel e I um subconjunto não vazio de A. Diz-se que I é um ideal de A se:

(i) a - b ∈ I para quaisquer a, b ∈ I;

(ii) a · i ∈ I e i · a ∈ I para todo a ∈ A e para todo i ∈ I (propriedade da absorção).

Sendo assim, para que o conjunto \{\overline{0},\,\overline{2},\,\overline{4}\} seja um ideal de \mathbb{Z}_6, ele precisa possuir as duas propriedades acima. No entanto, a verificação pedida é facilmente mostrada se você perceber que o conjunto \{\overline{0},\,\overline{2},\,\overline{4}\} é gerado pela multiplicação de \overline{2} por cada elemento de \mathbb{Z}_6.

Multiplicando, então, \overline{2} pelos elementos de \mathbb{Z}_6, segue que:

\Large\begin{array}{l}\overline{2}\cdot\overline{0}=\overline{2\cdot0}=\overline{0}\\\\\overline{2}\cdot\overline{1}=\overline{2\cdot1}=\overline{2}\\\\\overline{2}\cdot\overline{2}=\overline{2\cdot2}=\overline{4}\\\\\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{2\cdot3}=\overline{6}=\overline{0}\\\\\overline{2}\cdot\overline{4}=\overline{2\cdot4}=\overline{8}=\overline{2}\\\\\overline{2}\cdot\overline{5}=\overline{2\cdot5}=\overline{10}=\overline{4}\end{array}

Veja que, de fato, o conjunto \{\overline{0},\,\overline{2},\,\overline{4}\} é igual a \{\overline{2}\cdot r\mid r\in\mathbb{Z}_6\}.

De forma geral, sendo A um anel comutativo com unidade e a\in A, o seguinte conjunto

\Large\text{$\langle a\rangle=\{ar\mid r\in A\}$}\quad(\ast)

é um ideal de A, chamado ideal principal gerado por a.

De fato:

(i) Se x,\,y\in \langle a\rangle, então x=ar_1 e y=ar_2 para certos r_1,\,r_2\in A. Daí:

\Large\begin{aligned}x-y&=ar_1-ar_2\\\\&=a(r_1-r_2)\end{aligned}

Logo, x-y \in\langle a\rangle.

(ii) Multiplicando x=ar_1 por r\in A, obtemos:

\Large\begin{aligned}x\cdot r&=ar_1\cdot r\\\\&=a(r_1\cdot r)\end{aligned}

Desse modo, xr\in\langle a\rangle. Pela comutatividade da multiplicação, tem-se também rx\in \langle a\rangle.

Veja que o conjunto \{\overline{2}\cdot r\mid r\in\mathbb{Z}_6\} é da forma de (\ast) e que \mathbb{Z}_6 é um anel comutativo com unidade.

Logo, \{\overline{0},\,\overline{2},\,\overline{4}\}=\langle \overline{2}\rangle é um ideal do anel \mathbb{Z}_6.

Se quiser ver questões relacionadas, acesse os links a seguir:

  • brainly.com.br/tarefa/47590159;
  • brainly.com.br/tarefa/23586064.
Anexos:

ANONIMO10232: eu não consigo assim por escrita
Zadie: vc está em que série?
ANONIMO10232: 9.
ANONIMO10232: pq
Zadie: só para saber uma maneira de te explicar melhor a questão
ANONIMO10232: mas...
Zadie: vou responder lá na sua tarefa
ANONIMO10232: ok
ANONIMO10232: é melhor
ANONIMO10232: você está conseguindo
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