Question

Verifique se {0 , 2 , 4 } é um ideal no anel Z_{6}

Answer 1

Para resolver esta questão, inicialmente, vamos relembrar a definição de ideal de um anel.

Ideal

Sejam A um anel e I um subconjunto não vazio de A. Diz-se que I é um ideal de A se:

(i) a - b ∈ I para quaisquer a, b ∈ I;

(ii) a · i ∈ I e i · a ∈ I para todo a ∈ A e para todo i ∈ I (propriedade da absorção).

Sendo assim, para que o conjunto $\{\overline{0},\,\overline{2},\,\overline{4}\}$ seja um ideal de $\mathbb{Z}_6,$ ele precisa possuir as duas propriedades acima. No entanto, a verificação pedida é facilmente mostrada se você perceber que o conjunto $\{\overline{0},\,\overline{2},\,\overline{4}\}$ é gerado pela multiplicação de $\overline{2}$ por cada elemento de $\mathbb{Z}_6.$

Multiplicando, então, $\overline{2}$ pelos elementos de $\mathbb{Z}_6,$ segue que:

$\Large\begin{array}{l}\overline{2}\cdot\overline{0}=\overline{2\cdot0}=\overline{0}\\\\\overline{2}\cdot\overline{1}=\overline{2\cdot1}=\overline{2}\\\\\overline{2}\cdot\overline{2}=\overline{2\cdot2}=\overline{4}\\\\\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{2\cdot3}=\overline{6}=\overline{0}\\\\\overline{2}\cdot\overline{4}=\overline{2\cdot4}=\overline{8}=\overline{2}\\\\\overline{2}\cdot\overline{5}=\overline{2\cdot5}=\overline{10}=\overline{4}\end{array}$

Veja que, de fato, o conjunto $\{\overline{0},\,\overline{2},\,\overline{4}\}$ é igual a $\{\overline{2}\cdot r\mid r\in\mathbb{Z}_6\}.$

De forma geral, sendo A um anel comutativo com unidade e $a\in A,$ o seguinte conjunto

$\Large\langle a\rangle=\{ar\mid r\in A\}\quad(\ast)$

é um ideal de A, chamado ideal principal gerado por $a.$

De fato:

(i) Se $x,\,y\in \langle a\rangle,$ então $x=ar_1$ e $y=ar_2$ para certos $r_1,\,r_2\in A.$ Daí:

$\Large\begin{aligned}x-y&=ar_1-ar_2\\\\&=a(r_1-r_2)\end{aligned}$

Logo, $x-y \in\langle a\rangle.$

(ii) Multiplicando $x=ar_1$ por $r\in A,$ obtemos:

$\Large\begin{aligned}x\cdot r&=ar_1\cdot r\\\\&=a(r_1\cdot r)\end{aligned}$

Desse modo, $xr\in\langle a\rangle.$ Pela comutatividade da multiplicação, tem-se também $rx\in \langle a\rangle.$

Veja que o conjunto $\{\overline{2}\cdot r\mid r\in\mathbb{Z}_6\}$ é da forma de $(\ast)$ e que $\mathbb{Z}_6$ é um anel comutativo com unidade.

Logo, $\{\overline{0},\,\overline{2},\,\overline{4}\}=\langle \overline{2}\rangle$ é um ideal do anel $\mathbb{Z}_6.$

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• brainly.com.br/tarefa/47590159;
• brainly.com.br/tarefa/23586064.