Question

Em Matemática Financeira, um regime de capitalização é a forma em que se verifica o crescimento do capital. Dessa forma, no sistema de capitalização simples é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o valor do capital inicial e os juros devido a um período não rendem mais juros. Considere o capital inicial C aplicado no sistema de capitalização simples em uma taxa i por período, durante n períodos. O valor montante (M), que corresponde ao capital inicial adicionado aos juros do período, pode ser monitorado na Tabela 1. ​Tabela 1 – Planilha de monitoramento de capital no regime de capitalização simples. Considerando o enunciado acima, resolva os itens que seguem: A) Use o Princípio de Indução Finita e prove que para todo n∈ℕ o valor do montante pode ser determinado pela equação M(n) = C(1 + i. N). B) Use o resultado obtido em (A) e resolva o problema de matemática financeira a seguir: "Um capital foi aplicado a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros simples. Qual o valor do tempo mínimo necessário, em trimestres, para que esse capital cresça de 200%?".

Answer 1

Resposta:

MAPA - Lógica Matemática

Explicação passo a passo:

A) Use o Princípio de Indução Finita e prove que para todo n∈ℕ o valor do montante pode ser determinado pela equação M(n) = C (1 + i.n).  

M = montante         N = período            C = capital         I = taxa  

M (0) = c  

M (1) = c + c.i = c (1+i)  

M (2) = c + c.i+ c.i = c + 2 c.i = c (1 + 2i)  

M (3) = c + c.i + c.i + c.i = c + 3 ci = c (1 + 3i)  

Introdução  

Base de indução provar para n = 1  

n (1) = c (1 + i.1) = c (1 + i)  

Hipótese de indução assumir que M(k) é valido e provar que m (k +1) é verdadeiro  

M(k) = c (1 + i.k)  

M (k + 1) = c (1 + i.k) + ci  

M (k + 1) = c + cik + ci  

M (k + 1) = c (1 + ik + i)  

M (k + 1) = c (1 + 1 (k + 1))  

B) i = 5% = 5/100 = 0,05  

Capital Inicial = C

Capital final = C+200% = C + C + C = 3C

M = C (1 + i n)

3C = C (1+ 0,05n)

3C/C = 1 + 0,05n

3 = 1 + 0,05n

0,05n = 3 – 1

0,05n = 2

n = 2/0,05

n = 40                              Resposta: 40 trimestres.