Question

Um resistor puro de 100 ohms está associado em série com um capacitor de 4,7 uF e uma bobina de L= 11,5 mH cuja resistência interna é r= 36 ohms. A tensão eficaz sobre o capacitor é de 40V. A frequência da tensão da entrada é de 1,5 kHz. Calcule:

A) O fator de potência do circuito
B) A corrente eficaz do circuito
C) A impedância do circuito
D) A reatância indutiva e capacitiva

Answer 1

É preciso começar pela montagem do circuito, facilitando a visualização dos parâmetros e da disposição dos elementos.

Como pode ser visto no desenho anexado, temos 4 elementos em série: um resistor de 100Ω, um capacitor de 4,7μF, um indutor de 11,5mH e um resistor de 36Ω (resistência interna "destacada" do indutor).

Trocando a ordem do "roteiro" de perguntas do exercício, vamos calcular o que é pedido.

d)

As reatâncias indutiva $\sf X_L$ e capacitiva $\sf X_C$ são dadas por:

$\boxed{\sf \begin{array}{ccc} \sf X_L~=~\omega\cdot L\\\sf ou\\\sf X_L~=~2\pi\cdot f\cdot L\end{array}}~~~~~~~~~~\boxed{\sf \begin{array}{ccc} \sf X_C~=~\dfrac{1}{\omega\cdot C}\\\sf ou\\\sf X_C~=~\dfrac{1}{2\pi\cdot f\cdot C}\end{array}}$

Como temos apenas um indutor e um capacitor, basta substituirmos os valores diretamente e determinar as reatâncias.

$\sf X_L~=~2\pi\cdot 1,5\cdot 10^3\cdot 11,5\cdot 10^{-3}\\\\\boxed{\sf X_L~=~108,38\Omega}\\\\\\\\X_C~=~\dfrac{1}{2\pi\cdot 1,5\cdot 10^3\cdot 4,7\cdot 10^{-6}}\\\\\\\boxed{\sf X_C~=~22,58~\Omega}$

Ressalto que os cálculos foram efetuados com auxílio de uma calculadora e os valores finais, arredondados.

c)

Vamos começar determinando a impedâncias de cada um dos quatro elementos do circuito. Lembrando que:

$\boxed{\sf Z_R~=~R}~~~\boxed{\sf Z_L~=~jX_L}~~~\boxed{\sf Z_C~=\,-jX_C}$

Portanto, as impedâncias de cada elemento são:

$\sf Z_{R_{100\Omega}}~=~R_{100\Omega}\\\\\boxed{\sf Z_{R_{100\Omega}}~=~100~\Omega}\\\\\\\sf Z_{R_{36\Omega}}~=~R_{36\Omega}\\\\\boxed{\sf Z_{R_{36\Omega}}~=~36~\Omega}\\\\\\Z_L~=~j\cdot X_L\\\\\boxed{\sf Z_L~=~j108,38~\Omega}\\\\\\Z_C~=\,-j\cdot X_C\\\\\boxed{\sf Z_C~=\,-j22,58~\Omega}$

A impedância equivalente de um circuito é calculada da mesma forma que fazemos para as associações de redes puramente resistivas e, portanto, como no circuito dado todas impedâncias estão em série, o equivalente será a soma das quatro impedâncias.

$\sf Z_{eq}~=~Z_{R_{100\Omega}}~+~Z_{R_{36\Omega}}~+~Z_L~+~Z_C\\\\\\Z_{eq}~=~100~+~36~+~j108,38~-~j22,58\\\\\\\boxed{\sf Z_{eq}~=~(136+j85,8)~\Omega}$

b)

Novamente, vamos ressalta que asa quatro impedâncias estão em série, logo a corrente do circuito é igual a corrente que percorre cada uma das quatro impedâncias.

Sabemos que a tensão eficaz (ou RMS) no capacitor é igual a 40 V, então:

$\sf i_{RMS,\,circuito}~=~i_{RMS,\,C}\\\\\\i_{RMS,\,circuito}~=~\dfrac{V_{RMS,\,C}}{|Z_C|}\\\\\\i_{RMS,\,circuito}~=~\dfrac{V_{RMS,\,C}}{X_C}\\\\\\i_{RMS,\,circuito}~=~\dfrac{40}{22,58}\\\\\\\boxed{\sf i_{RMS,\,circuito}~=~1,77~A}$

a)

$\boxed{\sf \sf S~=~P~+~jQ}\\\\\\\left\{\begin{array}{ccl}\sf S&\sf :&\sf Potencia~Aparente\\\sf P&\sf :&\sf Potencia~Ativa\\\sf Q&\sf :&\sf Potencia~Reativa\end{array}\right.$

O fator de potência (fp) é uma relação entre as potências ativa (P) e aparente (S), oferecendo uma "medida" para quanto da potência é, de fato, transformada em potência ativa. O fp vai de 0 a 1 e, quanto mais próximo de 1, maior é a parcela de potência ativa.

Observe o triângulo de potências anexado, o fp é dado pelo cosseno do ângulo φ, isto é, pelo quociente entre P e S.

$\boxed{\sf fp~=~cos(\varphi)~=~\dfrac{P}{|S|}}$

Poderíamos facilmente calcular as potências e, então, determinar o fator de potência, no entanto, não será necessário.

Vamos lembra que o ângulo φ é o ângulo de carga do circuito, ou seja, o ângulo da impedância do circuito, portanto bastará convertermos a impedância anteriormente calculada de coordenadas retangulares para coordenadas polares.

$\boxed{\sf \varphi~=~\theta_{v}-\theta_{i}~=~\theta_{\,Z_{eq}}}$

$\sf Z_{eq}~=~\sqrt{136^2+85,8^2}~\angle~arctg\left(\dfrac{85,8}{136}\right)\\\\\\Z_{eq}~=~\sqrt{25857,64}~\angle~32,25^\circ\\\\\\\boxed{\sf Z_{eq}~=~160,80~\angle~32,25^\circ~~\Omega}$

Calculando o fp:

$\sf fp~=~cos(32,25^\circ)\\\\\boxed{\sf fp~\approx~0,85}$

Ainda, como a parcela reativa da carga Zeq é positiva, isto é, a reatância indutiva (XL) é maior que a capacitiva (XC), dizemos que o fator de potência é indutivo.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$