Question

∫(3x²+2x)dx
Assinale a alternativa que contém o resultado correto da integral

Answer 1

O resultado correto desta integral indefinida é $\tt\int\tt3x^2+2x\,dx=x^3+x^2+C$.

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$\displaystyle\int\tt3x^2+2x\,dx$

Primeiramente integre cada parcela, pois a integral da soma é igual a soma das integrais das parcelas:

$=~~\displaystyle\int\tt3x^2\,dx+\displaystyle\int\tt2x\,dx$

As constantes podem passar a multiplicar suas integrais:

$=~~\tt3\displaystyle\int\tt x^2\,dx+2\displaystyle\int\tt x\,dx$

Agora é só raciocinar um pouquinho ou, se quiser, aplicar a regra da potência diretamente, dada por $\tt \int\tt x^p=\frac{x^{1+p}}{1+p}~\big|~p\neq-\,1$. A integral é a inversa da deriva, então x² e x são valores resultantes da derivada de algo, certo? Sendo assim, veja que derivando x³/3 + c e x²/2 + c (onde c ∈ ℝ e é uma constante):

$\tt \bigg(\dfrac{x^3}{3}+c\bigg)'=3\cdot\dfrac{x^2}{3}+0=x^2$

$\tt\bigg(\dfrac{x^2}{2}+c\bigg)'=2\cdot\dfrac{x}{2}+0=x$

Então pode-se afirmar que as integrais de x² e x são, respectivamente, x³/3 + c e x²/2 + c. Logo, segue que:

$\tt3\displaystyle\int\tt x^2\,dx+2\displaystyle\int\tt x\,dx~~=~~3\cdot\dfrac{x^3}{3}+c+2\cdot\dfrac{x^2}{2}+c$

                                   $\tt=~~x^3+x^2+\underbrace{\tt c+c}_C$

Então é esse o resultado da integral apresentada.

$\boxed{\displaystyle\int\tt3x^2+2x\,dx=x^3+x^2+C}$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.

Answer 2

$\int(3x^{2} +2x) \cdot dx$

Aplicando a Regra da Soma:

$\int f(x)\pm g(x) \cdot dx=\int f(x) \cdot dx \pm \int g(x) \cdot dx$

Teremos:

$\int 3x^{2} \cdot dx=x^{3} \\\int 2x \cdot dx=x^{2}$

Adicionando uma constante C:

$\boxed{\boxed{x^{3} +x^{2} +C \checkmark}}$