Question

Se y=Cx é solução dey' =y/x determinando a solução particular que passa pelo ponto (2,1) temos como solução:

a.
y = 2x


b.
y = x+1/2


c.
y = 1/2x

d
y = 2x+1


e
y = x

Answer 1

Temos a seguinte equação diferencial:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf y'(x) = \frac{y}{x} \: \: \: \bullet$

Vamos substituir a outra notação de derivada e separar as variáveis, pois certamente, esta equação pode ser resolvida por tal método:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \: \: \to \: \: \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$

Aplicando a integral em ambos os lados:

$\sf \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} \: \: \to \: \: ln(|y|) + c = ln(|x|) + d \\ \\ \sf ln( |y| ) = ln( |x| ) + \underbrace{d - c}_{k}\\ \\ \sf ln( |y| ) = ln( |x| ) + k \\ \\ \sf |y| = e {}^{ln( |x| ) + k} \\ \\ \sf |y| = e {}^{ln( |x|) } .e {}^{k} \\ \\ \sf |y| = |x| .k$

Embutindo o sinal apenas na constante:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf y = x.k}}}$

Portanto, podemos concluir que a solução informada no enunciado de fato é verdadeira. Agora vamos utilizar essa solução para encontrar a mesma no ponto P(2,1), então:

$\sf P(2,1) \: \to \: 1 = 2.k \: \to \: \boxed{\sf k = \frac{1}{2} }$

Substituindo o valor da constante, temos então a solução particular:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf y = \frac{x}{2} }}}}$

Espero ter ajudado