Question

determine a maior área de um triângulo isósceles contendo um perímetro de 45 cm

Answer 1

A área máxima do triângulo isósceles de perímetro 45 cm é 97,4 cm².

• Considere o triângulo isósceles da figura anexa onde:

c: medida dos lados congruentes.

h: medida da altura.

n: medida da semi-base.

• Se o perímetro do triângulo mede 45 cm então:

2n + 2c = 45 ⟹ Divida ambos os membros por 2.

$\large \sf n+c = \dfrac{45}{2}$

$\large \sf c = \dfrac{45}{2} -n$

• Observe que a altura do triângulo isósceles o divide em dois triângulos retângulos congruentes. Aplique o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo.

c² = n² + h² ⟹ Substitua o valor de c.

$\large \sf \left( \dfrac{45}{2} - n \right)^2 = n^2 + h^2$

$\large \sf \left( \dfrac{45}{2} \right)^2 -2 \cdot \dfrac {45}{2} \cdot n + n^2 = n^2 + h^2$

$\large \sf \dfrac{45^2}{4} -45 \cdot n = h^2$

$\large \sf 45 \cdot n = \dfrac{45^2}{4} - h^2$

$\large \sf n = \dfrac{45}{4} - \dfrac {h^2}{45}$

• A área do triângulo é obtida calculando a metade do produto entre base e altura. Observe que a base do triângulo mede 2n.

$\large \sf A = \dfrac{b \cdot h}{2}$

$\large \sf A = \dfrac{2n \cdot h}{2}$

A = n ⋅ h ⟹ Substitua o valor de n.

$\large \sf A = \left( \dfrac{45}{4} - \dfrac {h^2}{45} \right) \cdot h$

$\large \sf A = \dfrac{45 \cdot h}{4} - \dfrac {h^3}{45}$

• Deseja-se saber a área máxima do triângulo para um perímetro de 45 cm, portanto é necessário determinar um máximo relativo para a função A(h).
• A derivada de uma função num determinado ponto é numericamente igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto. Nos pontos de máximo ou mínimo relativo a reta tangente à curva é horizontal e portanto seu coeficiente angular é zero.
• Portanto se derivarmos a função, igualá-la a zero e determinarmos suas raízes, obtém-se os valores de h para os quais o coeficiente angular da reta tangente à curva é zero e portanto serão, valores de máximo e mínimo relativo da função, sendo que um deles representa o valor da altura h cuja área do triângulo é máxima.
• Obtenha a derivada da função A(h).

$\large \sf A(h) = \dfrac{45 \cdot h}{4} - \dfrac {h^3}{45}$

$\large \sf \dfrac {dA(h)}{dh} = \dfrac{45}{4} - \dfrac {3h^2}{45}$

• Iguale a zero e obtenha o valor de h para área máxima.

$\large \sf \dfrac{45}{4} - \dfrac {3h^2}{45} = 0$

$\large \sf \dfrac {3h^2}{45} = \dfrac{45}{4}$

$\large \sf h^2 = \dfrac{45 \times 45}{4 \times 3} = \dfrac{45 \times 15}{4} = \dfrac{9 \times 5 \times 5 \times 3}{4}$

$\large \sf h = \dfrac{15 \sqrt 3}{2}$

• Substitua o valor de h na equação da área e obtenha a área máxima.

$\large \sf A = \dfrac{45 \cdot h}{4} - \dfrac {h^3}{45}$

$\large \text { \sf A = \dfrac{45 \cdot 15 \sqrt 3}{4 \times 2} - {\left(\dfrac {15 \sqrt 3}{2}\right)^3} \cdot \dfrac{1}{45} }$

$\large \text { \sf A = \dfrac{45 \cdot 15 \sqrt 3}{4 \times 2} - {\dfrac {15^2 \cdot \cancel{15 \cdot 3} \sqrt 3}{2^3}} \cdot \dfrac{1}{45} }$

$\large \text { \sf A = 3 \cdot \dfrac {15 \cdot 15 \sqrt 3}{8} - {\dfrac {15^2 \cdot \sqrt 3}{8}} \cdot }$

$\large \sf A = 2 \cdot \dfrac {15 \cdot 15 \sqrt 3}{8}$

$\large \sf A = \dfrac {15 \cdot 15 \sqrt 3}{4}$

$\large \sf A = \dfrac {225 \sqrt 3}{4}$

A ≈ 97,4 cm²

A área máxima do triângulo isósceles de perímetro 45 cm é 97,4 cm².

Aprenda mais:

• Substitua o valor de h na equação de n e determine a medida da base do triângulo.

$\large \sf n = \dfrac{45}{4} - \dfrac {h^2}{45}$

$\large \sf n = \dfrac{45}{4} - \left( \dfrac {15 \sqrt 3}{2}\right)^2 \cdot \dfrac{1}{45}$

$\large \sf n = \dfrac{45}{4} - \dfrac {15^2 \cdot 3}{4} \cdot \dfrac{1}{45}$

$\large \sf n = \dfrac{45}{4} - \dfrac {15}{4} = \dfrac {30}{4}$

• Observe que a medida da base (b) é o dobro de n.

b = 2n

$\large \sf b = 2 \cdot \dfrac {30}{4}$

b = 15 cm

• Se o perímetro é 45 então:

2c + b = 45

2c + 15 = 45

2c = 30

c = 15 cm

Observe que os três lados do triângulo medem 15 cm, portanto a área máxima de um triângulo de determinado perímetro é obtida quando o triângulo é equilátero.

Outras aplicações da derivada:

• https://brainly.com.br/tarefa/38096830