Question

Sejam P um conjunto, R uma relação em P e m um número inteiro positivo, maior do que 1.

Se P = Z e R é a relação dada pelos pares $(y,z)\in\mathrm{Z}^2$ tais que $y\equiv z (\mathrm{mod} \:m)$, mostre que R é uma relação de equivalência.

Answer 1

Para resolver esta questão, vamos usar as seguintes propriedades de divisibilidade de números inteiros.

Divisibilidade

Sejam $a,\,b,\,c\in\mathbb{Z}.$ Valem as seguintes propriedades:

(i) $a\mid 0;$

(ii) Se $a\mid b,$ então $a\mid bc.$

(iii) Se $a\mid b$ e $a\mid c,$ então $a\mid b+c.$

Antes de fazer a demonstração, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência.

Relação de equivalência

Seja $C$ um conjunto. Um subconjunto $R$ de $C \times C$ é chamado de relação de equivalência se, para quaisquer $a,\,b,\,c\in C,$ valem:

• $(a,\,a)\in R$ (reflexividade);

• Se $(a,\,b)\in R,$ então $(b,\,a)\in R$ (simetria);

• Se $(a,\,b)\in R$ e $(b,\,c)\in R,$ então $(a,\,c)\in R$ (transitividade).

Agora, vamos à demonstração pedida lembrando que

$\Largey\equiv z\pmod m\iff m\mid y-z.$

Demonstração

Sejam a relação R formada pelos pares  $(y,\,z)\in\mathbb{Z}^2$ tais que $y\equiv z\pmod m$ e $x,\,y,\,z\in\mathbb{Z}.$

Reflexividade

Seja $y\in\mathbb{Z}.$ Temos, pela propriedade (i),  $m\mid y-y=0.$ Logo, $y\equiv y\pmod m.$

Simetria

Se $y\equiv z\pmod m,$ então $m\mid y-z.$ Pela propriedade (ii), segue que $m\mid (-1)\cdot(y-z),$ ou seja, $m\mid z-y.$ Logo, $z\equiv y\pmod m.$

Transitividade

Se $y\equiv z\pmod m$ e $z\equiv x\pmod m,$ então $m\mid y-z$ e $m\mid z-x.$

Consequentemente, pela propriedade (iii), temos:

$m\mid(y-z)+(z-x),$

isto é, $m\mid y-x.$

Logo, $y\equiv x\pmod m.$

Verificadas as três propriedades, a relação R dada é de equivalência.

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