Question

A água está fluindo a uma taxa de 2 m3/s através de um tubo com um diâmetro de 1 m. Se a pressão neste ponto é de 80 kPa, qual é a pressão da água depois que o tubo se estreita para um diâmetro de 0,5 m? ρágua = 1000 kg/m³.

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ A pressão na saída do tubo é de aproximadamente 31,277 [KPa]. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício precisamos descobrir a velocidade na saída do tubo e usar a equação de Bernoulli.⠀⭐⠀

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⠀⠀⠀☔⠀Oi, Monica ✌. Sendo a vazão (fluxo de volume V̇) [m³/s] equivalente ao produto da área A (π·r² em [m²]) pela velocidade [m/s] perpendicular à área então temos:

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$\LARGE\blue{\sf \dot{V}_1 = \dot{V}_2}$

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$\blue{\LARGE\begin{cases}\sf~2 = \pi \cdot 0{,}5^{^2} \cdot v_1\\\sf~2 = 3{,}14 \cdot 0{,}25 \cdot v_1\\\sf~2 = 0{,}785 \cdot v_1\\\text{ \sf~v_1 = \dfrac{2}{0{,}785} }\\\sf~v_1\approx 2{,}548~[m/s] \end{cases}}$

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$\blue{\LARGE\begin{cases}\sf~2 = \pi \cdot 0{,}25^{^2} \cdot v_2\\\sf~2 = 3{,}14 \cdot 0{,}0625 \cdot v_2\\\sf~2 = 0{,}196 \cdot v_2\\\text{ \sf~v_2 = \dfrac{2}{0{,}196} }\\\sf~v_2\approx 10{,}204~[m/s] \end{cases}}$

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⠀⠀⠀☔⠀A equação de Bernoulli estabelece que para um fluído incompressível em escoamento linear, sem rotação e sem viscosidade  uma variação na sua velocidade ocorre simultaneamente com uma variação da pressão e/ou da energia potencial deste mesmo fluído. Desta forma temos que:

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                 $\large\gray{\boxed{\sf\orange{~~\begin{array}{lcr}&&\\&\pink{\text{\LARGE \underline{~~\sf Equac_{\!\!,}\tilde{a}o~de~Bernoulli~~} }}&\\\\\\&\orange{\begin{cases}\text{ \sf~E_1 = m\cdot g\cdot h_1 + \dfrac{m \cdot v_1^{^2}}{2} }\\\\\text{ \sf~E_2 = m\cdot g\cdot h_2 + \dfrac{m \cdot v_2^{^2}}{2} }\\\end{cases}}&\\\\\\&\green{\clubsuit\underline{~~\sf Sendo~E=\tau=F\cdot d~ent\tilde{a}o:~~}\clubsuit}&\\\\&\orange{\text{\large \sf \Delta E = \Delta \tau = F_2 \cdot d_2 - F_2 \cdot d_1 }}&\\\\\\&\green{\clubsuit\underline{~~\sf Como~P = \frac{F}{A}~ent\tilde{a}o:~~}\clubsuit}&\\\\&\orange{\text{\large \sf \Delta E = P_2 \cdot A_2 \cdot d_2 - P_1 \cdot A_1 \cdot d_1 }}\\\\&\orange{\text{\large \sf \Delta E = E_2 - E_1 = P_2 \cdot V_2 - P_1 \cdot V_1 }}\\\\\\&\green{\clubsuit\underline{~~\sf m=\rho\cdot V~e~tamb\acute{e}m~V_1 = V_2:~~}\clubsuit}&\\\\\\&\red{\boxed{\pink{\normalsize\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf g \cdot h_1 + \dfrac{v_1^2}{2} + \dfrac{P_1}{\rho} = g \cdot h_2 + \dfrac{v_2^2}{2} + \dfrac{P_2}{\rho}}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}&\\&&\end{array}~~}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Considerando que neste tubo não há variação na energia potencial (ou seja, o centro do tubo está perfeitamente horizontal) então teremos:

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⌚ Hora da matemágica ✍

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                              $\Large\gray{\boxed{\sf~~\begin{array}{c}~\\\pink{\underline{~\underline{\text{\LARGE \bf\square\!\!\boxed{\subset}\boxed{\emptyset}\boxed{\eta}\boxed{\pi}\!\!\!^{^{\square}}\boxed{\alpha}\boxed{\ }\!_{\square} }}~}}\\\\\\\blue{\begin{cases}\sf~v_1 \approx 2{,}548~[m/s]\\ \sf~v_2 \approx 10{,}204~[m/s]\\ \sf~P_1 = 80.000~[Pa] \\\sf~\rho = 1.000~[Kg/m^3] \\\sf~P_2 =~?~[Pa]\end{cases}}\\\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\orange{\bf \dfrac{v_1^2}{2} + \dfrac{P_1}{\rho} = \dfrac{v_2^2}{2} + \dfrac{P_2}{\rho}}\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\blue{\text{\normalsize \sf \dfrac{2{,}548^2}{2} + \dfrac{80.\backslash\!\!\!{0}\backslash\!\!\!{0}\backslash\!\!\!{0}}{1.\backslash\!\!\!{0}\backslash\!\!\!{0}\backslash\!\!\!{0}} \approx \dfrac{10{,}204^2}{2} + \dfrac{P_2}{1.000} }}\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\blue{\text{\large \sf 3{,}338 + 80 \approx 52{,}061 + \dfrac{P_2}{1.000} }}\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\blue{\text{\normalsize \sf P_2 \approx (3{,}338 + 80 - 52{,}061) \cdot 1.000 }}\\\!\!\!\!\!\!\!\!^{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}\!\!\!\!\!\!\!\!\\\\\green{\boxed{\blue{\sf~P_2 \approx 31.277~[Pa]}}~\checkmark}\\\\\end{array}~~}}$  

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre vazão e raios:

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$ ☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

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