Question

1. No Parque das Águas Molhadas um carrinho percorre um trajeto até cair numa piscina conforme gráfico abaixo. Sabendo que o trecho 1 é modelado por uma função quadrática, o trecho Il por uma função linear, o trecho Ill por uma função exponencial e o trecho IV por uma função constante, pede-se:

Qual a função que descreve a trajetória do carrinho no trecho I?

E no trecho II?

E no III?

E no IV?

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Answer 1

Resposta:

No trecho I, f(x) = 1 - x/2 + 2.5*x^2

No trecho II,  f(x) = 4/3 + 4*x/3

No trecho III, f(x) = 8 * (1/2)^(x-5)

No trecho IV, f(x) = 1

Explicação passo a passo:

I) No trecho I, a função é quadrática, sua equação é:

f(x) = a + b*x + c*x^2

Substituindo os valores obtidos no gráfico:

f(0) = 1 = a  

f(1) = 3 = a + b + c  

f(2) = 4 = a + b*2 + c*4

Então a=1, e:  

1 + b + c = 3  

=> b + c = 2                    (i)

1 + 2*b + 4*c = 4  

=> 2*b + 4*c = 3                (ii)

Multiplicando a equação (i) por -2 e somando à equação (ii):

-2*b - 2*c + 2*b + 4*c = -4 + 3

2*c = -1

c = -1/2

Substituindo o valor de c em (i),

b - 1/2 = 2  

b = 5/2 = 2.5

Portanto f(x) = 1 - x/2 + 2.5*x^2

II) No trecho II, a função é linear, a equação é:

f(x) = a + b*x

Dos valores do gráfico:

f(2) = 4 = a + b*2      (i)

f(5) = 8 = a + b*5      (ii)

Multiplicando a equação (i) por -1 e somando à equação (ii):

-a - 2*b + a + 5*b = 8-4

3*b = 4

b = 4/3

Substituindo em (i):

a + 2*4/3 = 4

a = 12/3 - 8/3 = 4/3

Então f(x) = 4/3 + 4*x/3

III) No trecho III a função é exponencial com a origem deslocada:

f(x) = a*e^b*(x-5)

Do gráfico:

f(5) = 8 = a*e^b*0  

f(8) = 1 = a*e^b*3

Tomando o logaritmo natural dos dois lados das duas equações:

ln 8 = ln a             (i)

ln 1 = 0 = ln a + 3*b         (ii)

Resolvendo (i), a = 8

Substituindo o valor de a em (ii):

0 = ln 8 + 3 * b

b = - 3 * ln2 / 3 = - ln2 = ln 1/2

Então f(x) = 8*e^(ln 1/2)*(x-5)

f(x) = 8 * (e^(ln 1/2))^(x-5)

f(x) = 8 * (1/2)^(x-5)

(IV) No trecho IV a função é constante:

f(x) = c

Mas f(8) = 1, então

f(x) = 1