Matéria: Matemática
Autor: robertaci627
Perguntado 3 anos atrás

Determine todas as soluções inteiras da equação diofantina 2× + 3y = 5

Respostas

respondido por: lordCzarnian9635

As soluções inteiras dessa equação diofantina estão descritas no conjunto solução abaixo:

$\sf S=\big\{(1+3k,~1-2k)\big\};~ k\in\mathbb{Z}$

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Devido ao fato de a equação 2x + 3y = 5 ser muito simples, não é difícil encontrar algumas soluções apenas observando-a. Por exemplo, vemos com facilidade que (1, 1) é uma solução particular → p/ x = 1 e y = 1: 2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5 — a mais óbvia. Todavia, listar todas as soluções contidas no universo do conjunto dos números inteiros uma por uma é impossível. Sendo assim, é necessário encontrar uma solução geral que inclua todas as soluções inteiras desejadas para a equação dada.

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Para isso, conheça a fórmula que descreve as soluções (x, y) de uma eq. diofantina linear a partir de uma solução particular (x₀, y₀):

$\sf\begin{cases}\sf x=x_0+bk\\\sf y=y_0-ak\end{cases}~\forall k\in\mathbb{Z}$

Onde “a” e “b” são os coeficientes de ax + by = c e “k” é um número inteiro.

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PORTANTO, como a eq. 2x + 3y = 5 tem a = 2 e b = 3, na qual (x₀, y₀) = (1, 1) é uma solução particular, descrevemos todas as soluções inteiras como

$\sf x=x_0+bk~e~y=y_0-ak$

$\boldsymbol{\boxed{\sf x=1+3k~e~y=1-2k}}$

, a ser “k” um número inteiro qualquer.

Veja que essa solução geral é verdade ∀k ∈ $\mathbb{Z}$ :

$\begin{array}{l|l}~~~~\:\vdots&~~~~~~~~\vdots\\\sf p/~k=-\,1&\sf x=-\,2~e~y=3\\\sf p/~k=0&\sf x=1~e~y=1\\\sf p/~k=1&\sf x=4~e~y=-\,1\\\sf p/~k=2&\sf x=7~e~y=-\,3\\\sf p/~k=3&\sf x=10~e~y=-\,5\\~~~~\:\vdots&~~~~~~~~\vdots\end{array}\longrightarrow~\left\{\begin{array}{lllll}\sf 2(-\,2)+3(3)=-\,4+9=5\\\sf 2(1)+3(1)=-2+3=5\\\sf 2(4)+3(-\,1)=8-3=5\\\sf 2(7)+3(-\,3)=14-9=5\\\sf 2(10)+3(-\,5)=20-15=5\end{array}\right.\Large\text{$\tt OK$}$