Question

O conjunto unitário {0}, com as operações usuais, é um espaço vetorial real? Justifique sua resposta:

Answer 1

Resposta:

O conjunto unitário {0} com as operações de soma e multiplicação por um número real, é um espaço vetorial.

Explicação passo a passo:

Um conjunto V, com as operações de soma (+) e multiplicação por números reais (*),  é um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais R se:

1) V é fechado sob as operações + e *:

a + b ∈ V, se a ∈ V e b ∈ V

k * a ∈ V, se a  ∈ V e k ∈ R

Em nosso caso, 0 + 0 = 0 ∈ V e k * 0 = 0 ∈ V, então V é fechado sob as operações + e *

2) A operação + é associativa:

Para todos a, b, c em V,

a + (b + c) = (a + b) + c

Mas 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0, portanto a operação + é associativa.

3) Existe um elemento identidade, chamado vetor zero, sob a adição:

a + 0 = 0 + a = a, a ∈ V

Mas 0 + 0 = 0 + 0 = 0, o elemento 0 ∈ V é o vetor zero.

4) Todo elemento tem um inverso aditivo:

Para todo a ∈ V, existe -a ∈ V tal que a + (-a) = -a + a = 0.

No caso, dado o vetor 0, o vetor -0 obedece à regra: 0 + (-0) = -0 + 0 = 0

5) A operação + é comutativa:

 a + b = b + a, a ∈ V e b ∈ V.

Em nosso caso,

0 + 0 = 0 + 0

Portanto o conjunto unitário {0} é um espaço vetorial sobre R.