Question

Dado o limite limx->0 x/[√2-√(2-x)].

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

O limite em questão resulta em 2√2.

Para iniciarmos o cálculo do limite dado na questão vamos logo substituir x = 0 na função do limite:

$\sf{\displaystyle\lim_{\sf{x}\; \to\; \sf{0}}\left(\dfrac{\sf{x}}{\sqrt{\sf{2}}-\sqrt{\sf{2-x}}}\right)}=\sf{\left(\dfrac{0}{\sqrt{2}-\sqrt{2-0}}\right)}=\sf{\left(\dfrac{0}{\sqrt{2}-\sqrt{2}}\right)}=\sf{\blue{\dfrac{0}{0}}}$

Podemos perceber que no limite em questão temos uma indeterminação matemática do tipo 0 / 0. Nesses casos, temos que realizar algumas manipulações na expressão do limite para que possamos o calcular. Dentre as várias opções disponíveis, aplicarei a propriedade do conjugado, multiplicando a expressão do limite pelo conjugado do denominador.

$\sf{\displaystyle\lim_{\sf{x}\; \to\; \sf{0}}\left(\dfrac{\sf{x}}{\sqrt{\sf{2}}-\sqrt{\sf{2-x}}}\right)}=\sf{\left(\dfrac{x}{\sqrt{\sf{2}}-\sqrt{2-x}}\right)}\cdot \sf{\left(\dfrac{\sqrt{\sf{2}}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{\sf{2}}+\sqrt{2-x}}\right)}\\ \\ \\ \sf{\left(\dfrac{x\cdot\left(\sqrt{\sf{2}}+\sqrt{2-x}\right)}{\left(\sqrt{\sf{2}}-\sqrt{2-x}\right)\cdot\left(\sqrt{\sf{2}}+\sqrt{2-x}\right)}\right)}$

Para prosseguirmos com a nossa manipulação devemos expandir o denominador usando a regra da diferença de quadrados:

$\sf{(a-b)\cdot (a+b)=a^2-b^2}$

Aplicando isso na expressão do nosso limite, ficamos com:

$\sf{\left(\dfrac{x\cdot\left(\sqrt{\sf{2}}+\sqrt{2-x}\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{2-x}\right)^2}\right)}=\sf{\left(\dfrac{x\cdot\left(\sqrt{\sf{2}}+\sqrt{2-x}\right)}{2-\left(2-x\right)}\right)}=\sf{\left(\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!x\cdot\left(\sqrt{\sf{2}}+\sqrt{2-x}\right)}{\diagup\!\!\!\!\!x}\right)}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\sf{\blue{\left(\sqrt{2}+\sqrt{2-x}\right)}}}}$

Agora com a expressão simplificada, podemos retornar ao nosso limite:

$\sf{\displaystyle\lim_{\sf{x}\; \to\; \sf{0}}\left(\dfrac{\sf{x}}{\sqrt{\sf{2}}-\sqrt{\sf{2-x}}}\right)}=\sf{\displaystyle\lim_{\sf{x}\; \to\; \sf{0}}\left(\sqrt{\sf{2}}+\sqrt{\sf{2-x}}\right)}\\ \\ \\ \sf{\displaystyle\lim_{\sf{x}\; \to\; \sf{0}}\left(\sqrt{\sf{2}}+\sqrt{\sf{2-x}}\right)}=\sf{\left(\sqrt{2}+\sqrt{2-0}\right)}=\sf{\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{2\sqrt{2}}}}}}~\checkmark~$

Ou seja, encontramos que o limite em questão resulta em 2√2.

Espero que te ajude!

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