Question

Sejam A e B os pontos onde a parábola de equação (y - 2)² = 4(x + 1) intersecta p eixo y, e C o ponto onde a diretriz intersecta o eixo x. Determine a área do triângulo ABC. ​

Answer 1

Resposta:

A área do triângulo ABC é igua a 4 (unidade de área).

Explicação passo a passo:

Organizar a equação dada:

$(y - 2)^{2} = 4(x +1)$

$(y - 2)^{2} = 4x + 4$

$4x = (y - 2)^{2} - 4$

$x = \frac{(y - 2)^{2} - 4}{4}$

$x = \frac{1}{4} . (y - 2)^{2} + \frac{-4}{4}$

O foco da Diretriz é o ponto F = (b, a) a diretriz é a reta x = k e a equação da  parábola é dado por: $x = \frac{1}{2(b - k)} . (y - a)^{2} + \frac{b + k}{2}$

Comparando, agora as duas equação temos que a = 2;

$\frac{1}{2(b - k)} = \frac{1}{4}$                                  

$2(b - k) = 4$                                  

$b - k = \frac{4}{2}$                                    

$b - k = 2$                                    

A distância da reta perpendicular do vértice da parábola até a diretriz é dado por  $\frac{b - k }{2}$, calculando:

$\frac{b - k }{2} = \frac{2}{2} = 1$

O vértice da parábola é no ponto em que y = 2, calculando o vértice (V):

$x = \frac{1}{4} . (2 - 2)^{2} + \frac{-4}{4}$

$x = \frac{1}{4} . (0)^{2} + \frac{-4}{4}$

$x = \frac{-4}{4} = -1$

O vértice é o ponto V = (-1, 2). A diretriz é a reta x dada pelo x do vértice diminuido de $\frac{b - k }{2} = \frac{2}{2} = 1$, logo:

$x = -1 - 1$

$x = - 2$ (Diretriz)

A coordenada de y do foco é igual ao y do vértice que é 2, e a coordenada x do foco, será o x do vértice mais $\frac{b - k }{2}$, que é igual e 1:

$x = -1 + 1$

$x = 0$

O foco é o ponto F = (0, 2)

Como as pontos A e B intersectam o eixo y, os valores de x para ambos é igual a zero, dai vem: A = (0, y) e B = (0, y). Agora calculando o valor de y para ambos:

Pontos A e B:

$0 = \frac{(y - 2)^{2} - 4}{4}$

$0 = (y - 2)^{2} - 4$

$0 = y^2 - 4y + 4 - 4$

$y(y - 4) = 0$

$y1 = 0$                  $y2 = 4$

A = (0, 0)             B = (0, 4)

O ponto C é onde a diretriz intersecta o eixo x, logo seu y = 0 e seu x = -2, então C = (-2, 0).

Agora basta calcularmos a Área do triângulo retângulo formado (observe a imagem do gráfico anexada):

$A = \frac{(base. altura)}{x}$

$A = \frac{(2. 4)}{2}$

$A = 4$ (unidades de área)

Espero ter ajudado!