Question

1° Calcule as questões abaixo:

Answer 1

Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)

Sendo $f$ uma função integrável em $(a,\;b),$

$\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f(x)\,dx}=\left.F(x)\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

onde $F(x)$ é uma primitiva de $f(x)$ no intervalo de integração, isto é

$F'(x)=f(x)\,,~~~\forall~x\in (a,\;b).$

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a) $\displaystyle\int\limits_{1}^{3}{(x^{2}-5x+6)\,dx}$

Precisamos encontrar uma primitiva para a função polinomial

$f(x)=x^{2}-5x+6$


Regra para encontrar primitivas de potências:

$\displaystyle\int{x^{n}\,dx}=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\,,~~~n\neq -1.$


Aplicando a regra para primitivas de potências à função $f(x),$ encontramos

$F(x)=\dfrac{x^{2+1}}{2+1}-5\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}+6x+C\\\\\\ F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{5x^{2}}{2}+6x+C$

sendo $C$ uma constante de integração.


Tomemos como primitiva para $f$ a função $F$ em que a constante de integração é $C=0:$

$F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{5x^{2}}{2}+6x$


Aplicando o TFC à integral definida, obtemos

$\displaystyle\int\limits_{1}^{3}{(x^{2}-5x+6)\,dx}\\\\\\ =\left.\left(\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{5x^{2}}{2}+6x \right )\right|_{1}^{3}\\\\\\ =\left(\dfrac{3^{3}}{3}-\dfrac{5\cdot 3^{2}}{2}+6\cdot 3 \right )-\left(\dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{5\cdot 1^{2}}{2}+6\cdot 1 \right )\\\\\\ =\left(9-\dfrac{45}{2}+18 \right )-\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{2}+6\right )\\\\\\ =\left(\dfrac{54}{6}-\dfrac{135}{6}+\dfrac{108}{6} \right )-\left(\dfrac{2}{6}-\dfrac{15}{6}+\dfrac{36}{6}\right )\\\\\\ =\dfrac{27}{6}-\dfrac{23}{6}\\\\\\ =\dfrac{4}{6}\\\\\\ =\dfrac{2}{3}$

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Área entre gráficos de funções.

Dadas duas funções $f$ e $g$ definidas no intervalo $(a,\;b)\,;$

a área entre os gráficos de $f$ e $g$ sobre o intervalo $(a,\;b)$ é dada por

$A=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{\left|f(x)-g(x)\right|dx}$

ATENÇÃO! Devemos tomar o valor absoluto da diferença $f$ e $g,$ pois o cálculo de área leva em conta a distância vertical entre os gráficos das funções em cada ponto.
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b) Queremos saber a área entre os gráficos das funções

$f(x)=3-2x~~\text{ e }~~g(x)=x^{2}$

sobre o intervalo $-1\leq x\leq 3.$


Encontrando os pontos de interseção entre os gráficos:

$f(x)=g(x)\\\\ 3-2x=x^{2}\\\\ x^{2}+2x-3=0\\\\ x^{2}+3x-1x-3=0\\\\ x(x+3)-1(x+3)=0\\\\ (x+3)(x-1)=0\\\\ x=-3~~\text{ ou }~~x=1$


$\bullet\;\;$ Para $-1\le x\le 1\,,$ temos $f(x)\ge g(x).$

$\bullet\;\;$ Para $1\le x \le 3\,,$ temos $g(x)\ge f(x).$


Portanto a área da região pedida é

$A=\displaystyle\int\limits_{-1}^{3}{\left|f(x)-g(x)\right|dx}\\\\\\ =\int\limits_{-1}^{1}{\left|f(x)-g(x)\right|dx}+\int\limits_{1}^{3}{\left|f(x)-g(x)\right|dx}\\\\\\ =\int\limits_{-1}^{1}{[f(x)-g(x)]\,dx}+\int\limits_{1}^{3}{[g(x)-f(x)]\,dx}\\\\\\ =\int\limits_{-1}^{1}{[(3-2x)-x^{2}]\,dx}+\int\limits_{1}^{3}{[x^{2}-(3-2x)]\,dx}\\\\\\ =\int\limits_{-1}^{1}{[3-2x-x^{2}]\,dx}+\int\limits_{1}^{3}{[x^{2}-3+2x]\,dx}$

$\left.\left(3x-x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3} \right ) \right |_{-1}^{1}+\left.\left(\dfrac{x^{3}}{3}-3x+x^{2} \right ) \right |_{1}^{3}\\\\\\\\ =\left[\left(3\cdot 1-1^{2}-\dfrac{1^{3}}{3} \right )-\left(3\cdot (-1)-(-1)^{2}-\dfrac{(-1)^{3}}{3} \right ) \right ]+\\\\\\\left[\left(\dfrac{3^{3}}{3}-3\cdot 3+3^{2} \right )-\left(\dfrac{1^{3}}{3}-3\cdot 1+1^{2} \right ) \right ]\\\\\\\\ =\left[\dfrac{5}{3}-\left(-\dfrac{11}{3} \right ) \right ]+\left[9-\left(-\dfrac{5}{3} \right ) \right ]\\\\\\ =\left[\dfrac{5}{3}+\dfrac{11}{3} \right ]+\left[\dfrac{27}{3}+\dfrac{5}{3} \right ]\\\\\\ =\dfrac{16}{3}+\dfrac{32}{3}\\\\\\ =\dfrac{48}{3}\\\\ =16~\mathrm{~u.a.}$