Question

Sendo 75°=45°+30°, o valor de sen 75° e

Answer 1

A fórmula do seno da soma é, para a, v ∈ ℝ:  

sen(a + b) = sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a  

Então:  

sen 75° = sen(45° + 30°) = sen 45° ⋅ cos 30° + sen 30° ⋅ cos 45° = √2̄/2 ⋅ √3̄/2 + ½ ⋅ √2̄/2 = √6̄/4 + √2̄/4 = (√6̄ + √2̄)/4  

Recorde que:  

• cos 45° = sen 45° = √2̄/2  

• cos 30° = √3̄/2  

• sen 30° = ½

Answer 2

Usaremos a soma de arcos:

sen(a+b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)

sen(30+45) = sen(30°).cos(45°) + sen(45°).cos(30°)

$sen30° = \frac{1}{2}$

$cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos45° = sen45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

.

Substituindo:

$sen(30+45) = sen(30°).cos(45°) + sen(45°).cos(30°)$

$sen(75°) = \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2}$

$sen(75°) =\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

$sen(75°) =\frac{\sqrt{2} +\sqrt{6}}{4}$

Caso a resposta esteja simplificada:

$sen(75°) =\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2} . \sqrt{3}}{4}$

$colocando \frac{\sqrt{2}}{4}$ em evidencia

$sen(75°) =\frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})}{4}$