Question

Sejam f e g funções definidas no intervalo [-1, 1] tais que o gráfico de f é a semicircunferência inferior com centro na origem e raio 1, g(x) = kf(x) e im(g) = [0, 5].

O valor de K é:

Answer 1

Resposta:

O valor de k é -5.

Explicação passo a passo:

Se o gráfico de f(x) é a semicircunferência inferior com centro na origem, então

x+2 + f(x)^2 = 1

A equação acima tem duas soluções, mas como f(x) <= 0 (o gráfico é a semicircunferência inferior), a solução correta tem sinal negativo:

f(x) = -raiz(1-x^2)

A imagem de f(x) é [0,1] para x em [-1,1].

Se g(x) = k*f(x), então:

g(x) = -k*raiz(1-x^2)

Como raiz(1-x^2) varia entre 0 e 1 para x em [-1,1],  g(x) está em [-k,0] se k é positivo e [0,k] se k é negativo.

Se queremos que g(x) tenha a imagem [0,5], então k deve ser negativo e ter módulo igual a 5, ou seja k = -5, e a função g(x) fica:

g(x) = -5*f(x)