Question

11. Determine o valor de p na equação x² 6x + p-5 = 0, de modo que suas raízes:
a) Sejam reais e iguais; *
R=
b) Sejam reais e diferentes;
R=
c) Não sejam reais. *
R=

Answer 1

Os valores de p são:

a) p = 14

b) S = {p ∈ R | p < 14}

c) S = {p ∈ R | p > 14}

→ Uma equação do segundo grau é do tipo ax² + bx + c = 0, com a ≠0, e com a, b, c chamados coeficientes.

→ Vamos calcular de acordo com a fórmula de Bhaskara:

       $\Large \text { x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2.a} }$         ⇒ com Δ = b² - 4.a.c

→ Sobre Δ, sabemos que:

  Se Δ > 0, a equação admite 2 raízes reais;

  Se Δ = 0, a equação admite apenas 1 raiz raiz , ou, 2 raízes iguais;

  Se Δ < 0, a equação não admite raízes reais.

Agora vamos utilizar a fórmula desse Δ, para calcularmos p:

x² - 6x + p - 5 = 0            a = 1,   b = -6,   c = p - 5

Δ = b² - 4.a.c

Δ = (-6)² - 4.1.(p - 5)

Δ = 36 - 4p + 20

Δ = -4p + 56

Agora precisamos que as raízes da equação:

a) Sejam reais e iguais

   ⇒ Significa que Δ = 0

-4p + 56 = 0

-4p = -56  (multipl por -1)

4p = 56

$\large p = \frac{56}{4}$

$\large \boxed{p = 14}$

S = {p ∈ R | p = 14}   ou  S = (14}

b) Sejam reais e diferentes

   ⇒ Significa que Δ > 0

-4p + 56 > 0

-4p > -56  (multipl por -1 e lembrando de inverter o sinal da igualdade)

4p < 56

$\large p < \frac{56}{4}$

$\large \boxed{p < 14}$

S = {p ∈ R | p < 14}

c) Não sejam reais

   ⇒ Significa que Δ < 0

-4p + 56 < 0

-4p < -56  (multipl por -1 e lembrando de inverter o sinal da igualdade)

4p > 56

$\large p > \frac{56}{4}$

$\large \boxed{p > 14}$

S = {p ∈ R | p > 14}

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