Question

Determine a solução real da equação abaixo, sendo x ≠ ± 3.

Answer 1

Resposta: A equação não possui solução real.

Explicação passo a passo: Para resolver a equação, devemos igualar todos os denominadores para que possamos ter uma igualdade mais palpável. Percebamos que o denominador do segundo termo da soma, $x^2-9$, também pode ser escrito como o produto notável $(x+3)(x-3)$. Desse modo, teremos nossa equação:

$\frac{2x+1}{x-3} + \frac{2}{(x+3)(x-3)} = 1$

Vamos agora deixar todos os termos da nossa equação sobre o mesmo denominador, para fazer isso, multiplicamos a parte de cima e a parte de baixo de um termo por um mesmo número ou expressão, pois isso não altera o valor bruto do termo. Por isso, vamos multiplicar denominador e numerador do primeiro termo por (x+3) e o termo 1 por (x+3)(x-3). Vejamos:

$\frac{(2x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{2}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)}$

Como todos os termos estão sobre uma mesma expressão nos denominadores, podemos eliminá-los em todos os termos (é como se multiplicássemos todos os termos pela mesma expressão que está no denominador, algo que não altera o valor da expressão). Portanto, nossa equação fica igual a:

$(2x + 1)(x+3) + 2 = (x-3)(x+3)\\2x^2+x+6x+3+2=x^2-9\\x^2+7x+14=0$

Desenvolvendo a equação, percebemos que temos uma equação de segundo grau! Agora, vamos apenas aplicar a fórmula de Bhaskara!

$x = \frac{-b +- \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$, onde a é valor que multiplica x², b multiplica x e c é o número que não multiplica nada em nossa equação. Sabendo disso, só precisamos substituir esses termos e calcular o resultado de x.

$x = \frac{-7 +-\sqrt{49 -56 } }{2*1}\\x = \frac{-7 +-\sqrt{-7} }{2}$

Veja que temos um termo negativo dentro de uma raiz! Isso é um caso de impossibilidade resolutiva, pois não existe número real que, quando multiplicado por ele mesmo, resulte em um número negativo. Por isso, quando isso acontece, dizemos que não possuímos uma solução real para a equação! Portanto, o conjunto solução S é vazio, isto é, S = ∅.