3 - Em uma progressão aritmética de trinta termos, o segundo termo vale 16 e o sétimo termo vale 1. a) Qual é o primeiro termo? b) Qual é o último termo? c) Quanto vale a soma de todos os termos? d) A partir do primeiro, quantos termos é possível somar com resultado positivo?
Respostas
Vamos là.
PA
a2 = a1 + r = 16
a7 = a1 + 6r = 1
5r = -15
r = -3
a1 - 3 = 16
a1 = 19
a) Qual é o primeiro termo? a1 = 19
b) Qual é o último termo? a30 = 19 - 3*29 = -68
c) Quanto vale a soma de todos os termos?
S = (19 - 68)*30/2 = -735
d) A partir do primeiro, quantos termos é possível somar com resultado positivo?
an = a1 + r*(n - 1)
an = 19 - 3n + 3
termo geral
an = -3n + 22
-3n + 22 > 0
3n < 22
n < 22/3
n < 7,333.
n = 7 termos positivos.
a) O primeiro termo é 19.
b) O último termo é -68.
c) A soma dos termos é -735.
d) É possível somar até 6 termos com resultado positivo.
Essa questão se trata de progressão aritmética. Uma progressão aritmética é caracterizada por uma sequência de valores crescentes ou decrescentes, onde a diferença entre um valor e seu sucessor é sempre constante. O termo geral da P.A. é dado por aₙ = a₁ + (n-1)·r.
a) Sabemos que o segundo termo vale 16 e o sétimo vale 1, logo, podemos calcular a razão:
16 = a₁ + (2 - 1)r
16 = a₁ + r
1 = a₁ + (7 - 1)r
1 = a₁ + 6r
Subtraindo a primeira equação da segunda:
-15 = 5r
r = -3
Logo, o primeiro termo vale 19.
b) O último termo será dado por:
a₃₀ = 19 + (30 - 1)(-3)
a₃₀ = 19 - 87
a₃₀ = -68
c) A soma dos termos pode ser calculada por:
Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2
Substituindo os valores:
S₃₀ = (19 - 68)·30/2
S₃₀ = -735
d) O primeiro termo é 19, cada termo seguinte é 3 unidades menor, logo, temos:
19 - 3x > 0
19 > 3x
x < 19/3 ≈ 6,33
É possível somar até 6 termos.
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