Question

Dados os pontos A (–1, 1) e B (0, 4), qual
deve ser a coordenada y do ponto C (4, y)
para que a área do triângulo que tem A, B e
C como vértices seja igual a 7 u.a?

Answer 1

✅ Após ter realizado todos os devidos cálculos, chegamos à conclusão que os possíveis valores de "y" pertencem ao seguinte conjunto solução "Sy":

             $\large\displaystyle\begin{gathered}S_{y} = \{2, 30\} \end{gathered}$

Sejam os pontos:

                  $\large\begin{cases}A(-1, 1)\\B(0, 4)\\C(4, y) \end{cases}$

Sabendo que a área "S" de um triângulo formado por três vértices pode ser calculada como sendo a "metade do  módulo do determinante da matriz formada por estes três vértices", ou seja:

1ª             $\large\displaystyle\begin{gathered}S = \frac{|Det(M)|}{2} \end{gathered}$

Sendo M a seguinte matriz:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}M = \left[\begin{array}{ccc}Ax&Ay&1\\Bx&By&1\\Cx&Cy&1\end{array}\right] \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}= \left[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\0&4&1\\4&y&1\end{array}\right] \end{gathered}$

Calculando o determinante de M temos:

$\large\displaystyle\begin{gathered}Det(M) = (-1).4.1 + 1.1.4 + 1.0.y - 1.0.1 - (-1).1.y - 1.4.4 \end{gathered}$

             $\large\displaystyle\begin{gathered}= -4 + 4 + 0 - 0 + y - 16 \end{gathered}$

             $\large\displaystyle\begin{gathered}= y - 16 \end{gathered}$

Se desejamos encontrar o valor de "y" para que a área do referido triângulo seja igual à 7 u.a, Então, devemos atribuir S = 7 e, invertendo os membros da 1ª equação, para facilitar os cálculos, temos:

                      $\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{|y - 16|}{2} = 7 \end{gathered}$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}|y - 16| = 14 \end{gathered}$

                 $\large\displaystyle\begin{gathered}(y - 16)^{2} = 14^{2} \end{gathered}$

        $\large\displaystyle\begin{gathered}y^{2} - 32y + 256 = 196 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}y^{2} -32y + 256 - 196 = 0 \end{gathered}$

           $\large\displaystyle\begin{gathered}y^{2} - 32y + 60 = 0 \end{gathered}$

Calculando o valor do delta temos:

                $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\cdot a\cdot c \end{gathered}$

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}= (-32)^{2} - 4\cdot1\cdot60 \end{gathered}$

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}= 1024 - 240 \end{gathered}$

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}= 784 \end{gathered}$

Aplicando a fórmula da de Bhaskara, temos:

                $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}y = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a} \end{gathered} }$

                    $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-(-32)\pm\sqrt{784}}{2\cdot1} \end{gathered} }$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{32\pm28}{2} \end{gathered}$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}= 16\pm14 \end{gathered}$

Obtendo as raízes, temos:

            $\large\begin{cases}y' = 16 - 14 = 2\\y'' = 16 + 14 = 30 \end{cases}$

✅ Diante destes resultado, concluímos que temos duas possibilidades para o valor de "y" que são:

                       $\large\begin{cases}y' = 2\\y'' = 30 \end{cases}$

✅ Neste caso, temos dois possíveis triângulos, cujas áreas são 7 u.a. Estes triângulos possuem os seguintes vértices:

• Triângulo 1:

       $\large\begin{cases}A'(-1, 1)\\B'(0, 4)\\C'(4, 2) \end{cases}$

• Triângulo 2:

        $\large\begin{cases}A''(-1, 1)\\B''(0, 4)\\C''(4, 30) \end{cases}$

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Solução gráfica;