Question

O diferencial total de uma função de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função. Sobre diferencial total da função, analise as sentenças a seguir:
A) Somente a sentença II está correta.
B) Somente a sentença I está correta.
C) Somente a sentença III está correta.
D) Somente a sentença IV está correta.

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

O diferencial total dessa função é dz = - (1/x²y) dx - (1/xy²) dy.

Dada uma função de duas variáveis, z = f(x,y), definimos o diferencial total de z como sendo:

$\sf{dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}\;dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}\;dy}$

Sabendo disso, vamos calcular as derivadas parciais de z, começando por a derivada parcial de z em relação a x:

$\sf{z=f(x,y)=\dfrac{1}{xy}}\\ \\ \\ \sf{\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{y}\cdot \dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{1}{x}\right)}\\ \\ \\ \sf{\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{y}\cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{1}{x^2y}}}}}}~\checkmark~$

Agora vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y:

$\sf{z=f(x,y)=\dfrac{1}{xy}}\\ \\ \\ \sf{\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{1}{y}\right)}\\ \\ \\ \sf{\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{1}{x}\cdot \left(-\dfrac{1}{y^2}\right)}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\red{\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{1}{xy^2}}}}}}~\checkmark~$

Agora que encontramos as derivadas parciais em relação a x e a y, vamos substitui-las na equação do dz, mostrada no início da questão:

$\sf{dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}\;dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}\;dy}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\red{dz=-\dfrac{1}{x^2y}\;dx-\dfrac{1}{xy^2}\;dy}}}}}}~\checkmark~$

Ou seja, descobrimos que a alternativa C é a correta, ou seja, somente o item III é verdadeiro.

Espero que te ajude!

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