Question

Equações diferenciais, só para os craques. Vai encarar?

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

A solução para as equações diferenciais mostradas são:

$\sf{Soluc_{\!\!,} \tilde{a}o=}\begin{cases} \sf{Item~A:~y=sin(x)+x^2+C_1}\\ \\ \sf{Item~B:~y=\dfrac{20x^3}{3}+\dfrac{1}{2x^2}+C_1} \end{cases}$

Para resolvermos a Equação Diferencial do item A, usaremos a separação de variáveis. Essa regra consiste em separarmos as variáveis de x em um lado e as de y em outro, depois integramos em ambos os lados para encontrar uma solução em y. Aplicando o procedimento descrito acima, teremos:

• Item A

$\sf{y'=cos(x)+2x}~\to~\sf{As~vari\acute{a}veis~j\acute{a}~est\tilde{a}o~separadas!!}\\ \\ \sf{y=\displaystyle\int(\sf{cos(x)+2x})\;\sf{dx}}\\ \\ \\ \sf{y=\displaystyle\int(\sf{cos(x)})\;\sf{dx}+\displaystyle\int(\sf{2x})\;\sf{dx}~\to~\sf{Integre~pela~regra~da~pot\hat{e}ncia!}}\\ \\ \\ \sf{y=sin(x)+\diagup\!\!\!\!2\cdot \left(\dfrac{x^2}{\diagup\!\!\!\!2}\right)}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\red{y=sin(x)+x^2+C_1}}}}}~\checkmark~$

Ou seja, descobrimos que a solução para a Equação Diferencial do item A é y = sin(x) + x² + C₁.

Para o Item B dessa questão, também será usada a separação de variáveis, veja como fica:

• Item B

 

$\sf{y'=20x^2-\dfrac{1}{x^3}}~\to~\sf{As~vari\acute{a}veis~j\acute{a}~est\tilde{a}o~separadas!!}\\ \\ \\\sf{y=\displaystyle\int\left(\sf{20x^2-\dfrac{1}{x^3}}\right)\;\sf{dx}}\\ \\ \\ \sf{y=\displaystyle\int(\sf{20x^2})\;\sf{dx}-\displaystyle\int\left(\sf{\dfrac{1}{x^3}}\right)\sf{dx}~\to~\sf{Integre~pela~regra~da~pot\hat{e}ncia!}}\\ \\ \\ \sf{y=\dfrac{20x^3}{3}- \left(-\dfrac{1}{2x^2}\right)}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\red{y=\dfrac{20x^3}{3}+\dfrac{1}{2x^2}+C_1}}}}}~\checkmark~$

Ou seja, descobrimos que a solução para a Equação Diferencial do item B é y = [(20x³)/(3)] + [(1)/(2x²)] + C₁

Espero que te ajude!

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Answer 2

a) Como as variáveis já estão separadas, integramos ambos lados da equação:

$\displaystyle\int y'(x) dx =\displaystyle\int\cos x+2x \; dx \implies y(x)=\sin x +x^2+C$

b) Como as variáveis já estão separadas, integramos ambos lados da equação:

$\displaystyle\int y'(x) dx =\displaystyle\int20x^2-\dfrac{1}{x^3} \; dx \implies y(x)=\dfrac{20x^3}{3}-\dfrac{1}{2x^2}$