Question

Um corpo de peso 5,0 N deve subir à altura de 3,75 m no menor intervalo de tempo possível. Para isso,
ele é puxado verticalmente para cima, por meio de uma corda que pode suportar, no máximo, uma tração
de 20,0 N. Qual deve ser este intervalo de tempo?

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ No mínimo 0,5 segundos. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos utilizar o princípio fundamental da dinâmica e a fórmula do sorvetão.⠀⭐⠀

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⠀⠀⠀☔⠀Oi, Unknnown ✌. Observe inicialmente que a força resultante será a diferença da força de tração (única força agindo para cima) pela força peso (única força agindo para baixo):

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$\LARGE\blue{\sf F_{res} = F_T - F_P}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Assumindo a situação limite em que a tração é de 20 [N] então temos que:

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$\LARGE\blue{\sf F_{res} = 20 - 5 = 15~[N]}$

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⠀⠀⠀☔⠀Pela Segunda Lei de Newton (também chamado de Princípio Fundamental da Dinâmica) temos que a força [N] que age sobre um corpo, quando há um deslocamento de mesma direção e sentido que a força, equivale ao produto da massa deste corpo [Kgs] pela aceleração [m/s²] produzida:

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                                     $\quad\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\orange{|\vec{\bf F}| = {\bf m} \cdot |\vec{\bf a}|}&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Ou seja:

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$\LARGE\blue{\sf m \cdot a = 15}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{F_P}{g} \cdot a = 15}$

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{5}{10} \cdot a = 15}$

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$\LARGE\blue{\sf 0{,}5 \cdot a = 15}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf a = \dfrac{15}{0{,}5} }}$

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$\LARGE\blue{\sf a = 30~[m/s]}$

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⠀⠀⠀☔⠀Pelas equações da aceleração média e da velocidade média podemos deduzir uma função horária da posição para movimentos retilíneos uniformemente variados (também chamada de fórmula do sorvetão), encontrando assim um equação da dinâmica que relaciona as posições inicial e final, a velocidade inicial, a aceleração e o tempo analisado:

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                $\gray{\boxed{~~\begin{array}{lcr}\\&\Large\pink{\underline{\bf~~~~F\acute{o}rmula~do~sorvet\tilde{a}o~~~~}}&\\\\\\\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~I)~~Rearranjando~a_m~para~t_i=0~}~~\spadesuit}&\\\\&\orange{\sf a_m = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v_f - v_i}{t_f - 0}}&\\\\&\boxed{\orange{\sf v_f = v_i + a_m \cdot t_f\qquad\red{\sf\footnotesize(func_{\!\!,}\tilde{a}o~hor\acute{a}ria~da~velocidade)}}}&\\\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~somamos~v_i~em~ambos~os~lados~}~~\spadesuit}&\\\\&\orange{\sf v_f + v_i = 2 \cdot v_i + a_m \cdot t_f }&\\\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~e~dividimos~ambos~os~lados~por~2~}~~\spadesuit}&\\\\&\orange{\sf v_m \rightarrow \boxed{\sf \dfrac{v_f + v_i}{2}} = v_i + \dfrac{ a_m \cdot t_f}{2}}\\\\&\green{\sf\clubsuit~~\underline{~II)~~Rearranjando~v_m~para~t_i=0~}~~\clubsuit}&\\\\&\orange{\sf v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{s_f - s_i}{t_f - 0}}&\\\\&\boxed{\orange{\sf s_f = s_i + v_m \cdot t_f\quad\:\:\:\red{\sf\:\footnotesize(func_{\!\!,}\tilde{a}o~horaria~da~posic\tilde{a}o)}}}&\\\\&\green{\sf\blacklozenge~~\underline{~III)~~De~I)~em~II)~temos~}~~\blacklozenge}&\\\\&\orange{\sf s_f = s_i + \left(v_i + \dfrac{a_m \cdot t_f}{2}\right) \cdot t_f}&\\\\\\&\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf s(t) = s_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}&\\\\\end{array}~~}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Sendo assim temos:

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$\LARGE\blue{\sf 3{,}75 = 0 + 0 \cdot t + \dfrac{30 \cdot t^2}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf 3{,}75 = 15 \cdot t^2}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf t^2 = \dfrac{3{,}75}{15} }}$

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$\LARGE\blue{\sf t^2 = 0{,}25}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf \sqrt{t^2} = \pm \sqrt{0{,}25} }}$

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$\LARGE\blue{\sf t = \pm 0{,}5}$

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⠀⠀⠀⭐ Como procuramos somente uma solução positiva de tempo então assumiremos somente a solução positiva desta radiciação:

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                                         $\qquad\quad\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{t}~\pink{=}~\blue{ 0{,}5~[s] }~~~}}$ ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre funções horárias:

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$ ☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

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                                                          $\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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