RESMAT
Você como engenheiro de uma indústria de máquinas e implementos agrícolas, precisa projetar um sistema de polias B, C e D, representados na figura a seguir, que recebem diferentes valores de torque. É fundamental para o perfeito funcionamento do conjunto, determinar o ângulo de torção em graus, por exemplo, no trecho entre B e C. Sabendo que os eixos têm seção transversal circular cheia e são feitos de alumínio (G = 27 GPa), faça esta verificação.

Anexos:

Respostas

respondido por: Baldério

Resolução da questão, veja bem:

O ângulo de torção para o eixo BC é 8,54º

Para resolvermos esse problema, usamos equação do ângulo de torção:

$\sf{\Phi=\dfrac{TL}{JG}}$

Onde,

Φ = Ângulo de torção (º) ;

T = Torque ao qual o eixo está submetido (N · m) ;

L = Comprimento do eixo (m) ;

J = Momento polar de inércia do eixo (m⁴) ;

G = Módulo de elasticidade ao cisalhamento do material (Pa)

Observando a nossa questão, percebemos que dispomos dos seguintes dados:

Φ = ? ;

T = 400 N · m ;

L = 0,8 m ;

J = ? ;

G = 27 · 10⁹ Pa

Cálculo do momento polar de inércia (J) :

Como não temos o momento polar de inércia do eixo BC, vamos encontra-lo a partir da equação abaixo:

OBS : Essa equação é usada para o cálculo do J em eixos com seção circular cheia, ou seja, não vazada.

$\sf{J=\dfrac{\pi}{2}\cdot c^4}$

Onde C é o raio do eixo. No nosso problema percebemos com facilidade que o diâmetro do eixo no trecho BC é de 30 mm, ou seja, teremos então um raio de 15 mm, que é igual a 0,015 m:

$\sf{J=\dfrac{\pi}{2}\cdot c^4}~\to~\sf{J=\dfrac{\pi}{2}\cdot (0,015\;m)^4}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\sf{J=79,522\cdot 10^{-9}\;m^4}}}~\checkmark~$

Cálculo do ângulo de torção (Φ) :

Com todos os dados em mãos, podemos retornar à equação do ângulo de torção:

$\sf{\Phi=\dfrac{TL}{JG}}~\to~\sf{\Phi=\dfrac{400\;N\cdot m \cdot 0,8\; m}{79,522\cdot10^{-9}\;m^4\cdot 27\cdot 10^{\;9}\; N/m^2}}\\ \\ \\ \sf{\Phi=\dfrac{320\;N\cdot m^4}{2147,094~N\cdot m^4}}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\sf{\red{\Phi=0,1490386541\;rad}}}}~\checkmark~$

Ou seja, encontramos que o ângulo de torção para o trecho BC do eixo em questão é Φ = 0,1490386541 radianos.

Conversão de unidade angular (radianos para graus) :

Para concluirmos, vamos ter que converter a unidade angular, de radianos para graus. Fazendo essa conversão, teremos:

$\sf{\Phi=0,1490386541\;rad}\\ \\ \\ \sf{\Phi=0,1490386541\cdot \dfrac{180^\circ}{\pi}}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{\Phi\approx 8,54^\circ}}}}}}~\checkmark~$