Question

Questão legal.

Se alguém poder resolver ... ficarei muito grato.

Ahh.. por favor, use o Latex.

 

Por ocasião da inauguração de um edifício, um promotor de eventos decidiu fazer uso simultâneo das projeções de um jato de água e de um canhão de luz efetuadas a partir de um pequeno prédio vizinho, localizado a 18 metros do edifício novo. O jato será lançado a partir do teto do pequeno prédio (a 9 metros de altura) e, após executar sua trajetória parabólica, atingirá a base do prédio novo. O canhão de luz, por sua vez, será disparado a partir do chão, da base do pequeno prédio. Seu feixe de luz atravessará exatamente o vértice da “parábola de água” e atingirá o topo do novo edifício, que se encontra a 36 metros de altura (conforme a figura abaixo). O jato de água e o feixe de luz se encontrarão, a partir do solo, à altura de

 

Answer 1

A altura que queremos encontrar é a ordenada de um dos pontos em que as duas funções (parabólica e reta) se encontram.

Vamos convencionar que a origem do plano cartesiano se encontra no ponto de onde parte o feixe de luz.

Vamos determinar as equações da reta e da parábola.

A equação da reta é da forma: $y=ax+b$

A reta passa pelos pontos: (0, 0) e (18, 36). Logo:

$0=a.0+b$ ⇒ $b=0$ ⇒ $y=ax$

$36=a.18$ ⇒ $a= \frac{36}{18} =2$

A equação da reta é: $y=2x$

A equação da parábola é da forma: $y=a x^{2} +bx+c$

A parábola passa pelos pontos: (0, 9) e (18, 0). Logo:

$9=a .0^{2} +0.x+c$ ⇒ $c=9$ ⇒ $y=a x^{2} +bx+9$

$0=a .18^{2} +b.18+9$ ⇒ $a= \frac{-2b-1}{36}= -\frac{2b+1}{36}$

O vértice da parábola é (-b/2a, -Δ/4a), que pertence à reta também. Portanto, substituindo esse ponto na equação da reta, temos:

-Δ/4a = 2.(-b/2a) ⇒ Δ/4 = b ⇒ Δ = 4b ⇒ $b^{2} -4.a.9 = 4b$ ⇒ $b^{2} -36.a -4b= 0$

Substituindo o valor de a em função de b:

$b^{2} -36.( -\frac{2b+1}{36} ) -4b= 0$

$b^{2} +2b+1 -4b= 0$

$b^{2} -2b+1= 0$ ⇒ $(b-1)^{2} =0$ ⇒ $b=1$

$a= -\frac{2b+1}{36} =-\frac{2.1+1}{36} = -\frac{2+1}{36} = -\frac{3}{36} = -\frac{1}{12}$

A equação da parábola é: $y=- \frac{ x^{2} }{12} +x+9$

Finalmente, como queremos saber o valor de y no vértice da parábola, que corresponde ao valor -Δ/4a, temos:

$\frac{-( b^{2}-4.a.c )}{4a} =\frac{-( 1^{2}-4.(- \frac{1}{12} ).9)}{4.(- \frac{1}{12} )} =\frac{( 1^{2}+( \frac{1}{3} ).9)}{ \frac{1}{3} } =\frac{1+3}{ \frac{1}{3} } =4.3=12$ metros