Question

2) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(-1,3) e é perpendicular a reta que passa pelos pontos A(2,5) e B(3,-4).​

Answer 1

Resposta:

segue resposta e explicação:

Explicação passo a passo:

Em primeiro lugar devemos encontrar a equação da reta "r" que passa pelos pontos:

           $A(2, 5)\\B(3, -4)$

Como os pontos A e B pertencem à reta "r", então eles são colineares. Neste caso, o determinante da matriz "M", formada pelas coordenadas dos pontos A e B deve ser igual a 0, ou seja:

         $Det(M) = 0$

Se a matriz M é:

$M = \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\X_{A} &Y_{A} &1\\X_{B} &Y_{B} &1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\2&5&1\\3&-4&1\end{array}\right]$

Então:

                                                                $Det(M) = 0$

$x.5.1 + y.1.3 + 1.2.(-4) - y.2.1 - x.1.(-4) - 1.5.3 = 0$

                                   $5x + 3y - 8 - 2y + 4x - 15 = 0$

                                                            $9x + y - 23 = 0$

Portanto, a equação geral da reta "r" é:

          $r: 9x + y - 23 = 0$

Agora podemos encontrar a equação reduzida da reta "r" . Então:

                $9x + y - 23 = 0$

                                $y = -9x + 23$

Portanto, a equação reduzida de reta "r" é:

            $r: y = -9x + 23$

A partir da equação reduzida podemos recuperar o seu coeficiente angular que é:

                   $m_{r} = -9$

Sabendo que duas retas são perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for a unidade negativa, ou seja:

                 $m_{r} . m_{s} = -1$

Então podemos calcular o coeficiente angular da reta "s" perpendicular à reta "r". Para isso, devemos fazer:

                     $m_{s} = -\frac{1}{m_{r} }$

                    $m_{s} = \frac{-1}{-9} = \frac{1}{9}$

Portanto, o coeficiente angular da resta "s" é:

                         $m_{s} = \frac{1}{9}$

Uma vez tendo encontrado o coeficientes angular da reta "s", podemos montar a equação da reta "s" pela fórmula "ponto declividade", ou seja:

                $Y - Y_{P} = m_{s}.(X - X_{P} )$

Então:

                   $y - 3 = \frac{1}{9}.(x - (-1))$

                    $y - 3 = \frac{1}{9}(x + 1)$

                    $y - 3 = \frac{x}{9} + \frac{1}{9}$

                          $y = \frac{x}{9} + \frac{1}{9} + 3$

                          $y = \frac{x}{9} + \frac{28}{9}$

Portanto, a equação reduzida da reta "s" é:

                          $s: y = \frac{1}{9}x + \frac{28}{9}$

Saiba mais sobre retas perpendiculares, acessando:

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