A partir da equação sen2x + cos2x = 1 , é falsa a igualdade a) 1 + cotg2x = cossec2 x. b) sen2x = 1 - cos2 x. c) cos2x = 1 - sen2 x. d) tg2x + 1 = sec2 x. e) cossec2x + cos2x = 1
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Respostas
Resposta:
tg x = sen x
cos x
cotg x = 1 = cos x
tg x sen x
sec x = 1
cos x
cossec x = 1
sen x
tg² x + 1 = sec² x
cotg² x + 1 = cossec² x
Em geral, a forma utilizada para a resolução de identidades trigonométricas é a demonstração através das relações trigonométricas conhecidas. Podemos realizar essa demonstração ao desenvolver os dois lados da equação trigonométrica, chegando a um mesmo valor em ambos os lados. É possível também que, trabalhando com apenas um lado, cheguemos ao que está indicado no outro lado da igualdade. Vejamos através de exemplos como são feitas essas demonstrações de identidades trigonométricas.
Exemplo 1:
tg² (x) . (cos (x) – sen (x)) = sen (x) . (tg(x) – tg² (x))
Chamemos tg² (x) . (cos (x) – sen (x)) de f(x) e sen (x) . (tg(x) – tg² (x)) de g(x). A estratégia para demonstrar essa identidade é desenvolver f(x) até chegar a g(x).
f(x) = tg² (x) . (cos (x) – sen (x))
f(x) = tg² (x). cos (x) – tg² (x). sen (x)
Podemos substituir tg² (x) pelo quociente sen² (x) : cos² (x), logo:
f(x) = sen² (x). cos (x) – sen² (x). sen (x)
cos² (x) cos² (x)
Simplificando o cos (x) do numerador da primeira fração com o cos² (x) do denominador, temos:
f(x) = sen² (x) – sen² (x). sen (x)
cos (x) cos² (x)
f(x) = sen (x). sen (x) – sen² (x). sen (x)
cos (x) cos² (x)
f(x) = sen (x). sen (x) – sen² (x). sen (x)
cos (x) cos² (x)
f(x) = sen (x). tg (x) – tg² (x). sen (x)
Colocando o termo sen (x) em evidência, teremos:
f(x) = sen (x). (tg (x) – tg² (x))
Mas g(x) = sen (x) . (tg(x) – tg² (x)), lembra-se? Portanto, podemos concluir que f(x) = g(x). Sendo assim, provamos que a identidade é válida.
Exemplo 2:
sec (x) = 2
1 + sen (x) sen (2x) + 2 cos (x)
Chamemos o 1° membro da igualdade de f(x) e o 2° membro de g(x). Para demonstrar essa identidade, vamos desenvolver ambos os lados da igualdade até chegar a f(x) = g(x).
sec (x) = 2
1 + sen (x) sen (2x) + 2 cos (x)
Lembra-se das funções trigonométricas do arco duplo? Através delas, podemos concluir que sen (2x) = 2.sen(x).cos(x). Podemos utilizar também que sec (x) = ¹/cos (x), logo:
¹/cos (x) = 2
1 + sen (x) 2. sen (x). cos (x) + 2 cos (x)
1 . 1 = 2
cos (x) 1 + sen (x) 2cos(x). [sen (x) + 1]
1 = 1
cos (x). [1 + sen (x)] 1cos(x). [sen (x) + 1]
1 = 1
cos (x) + cos(x).sen (x) cos(x).sen (x) + cos (x)
Assim, podemos concluir que a identidade é verdadeira.
A partir da identidade trigonométrica sen²x + cos²x = 1, a igualdade falsa está na alternativa E.
Funções trigonométricas
As funções trigonométricas são obtidas a partir do círculo trigonométrico e são periódicas. O domínio destas funções é o conjunto dos números reais.
Antes de começar, devemos nos lembrar que:
- tg x = sen x/cosx
- 1/tg x = cotg x = cos x/sen x
- 1/sen x = cossec x
- 1/cos x = sec x
A partir da identidade trigonométrica, temos:
a) 1 + cotg² x = cossec² x
1 + cos² x/sen² x = 1/sen² x
cos² x/sen² x - 1/sen² x = -1 (multiplicando por sen² x)
cos² x - 1 = -sen² x
sen² x + cos² x = 1
b) sen² x = 1 - cos² x
sen² x + cos² x = 1
c) cos² x = 1 - sen² x
sen² x + cos² x = 1
d) tg² x + 1 = sec² x
sen² x/cos² x + 1 = 1/cos² x (multiplicando por cos² x)
sen² x + cos²x = 1
e) cossec² x + cos² x = 1
1/sen² x + cos² x = 1 (multiplicando por sen² x)
1 + sen² x · cos² x = sen² x
sen² x - sen² x · cos² x = 1
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