Determine a transformada de Laplace da função g(t) = t2 cos t, sabendo que ℒ [ cos t] = s s 2 + 1

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respondido por: Zadie

Determinando a transformada de Laplace de $g(t)=(t^2\cos t),$ obtém-se

$\Large\text{$\mathcal{L}\{g(t)\}=\dfrac{2s(s^2-3)}{\left(s^2+1\right)^3}$.}$

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O objetivo desta questão é determinar a transformada de Laplace da função $g(t)=(t^2\cos t),$ sabendo que

$\Large\text{$\mathcal{L}\{\cos t\}=\dfrac{s}{s^2+1}$.}$

Para tanto, será utilizada a seguinte propriedade:

$\Large\boxed{\mathcal{L}\{t^nf(t)\}=(-1)^{n}\dfrac{d^n}{ds^n}\mathcal{L}\{f(t)\}.}$

Dessa maneira, segue que:

$\Large\text{$\mathcal{L}\{t^2\cos t\}=(-1)^{2}\dfrac{d^2}{ds^2}\mathcal{L}\{\cos t\}$.}$

Calculemos separadamente a primeira e segunda derivadas da função $\mathcal{L}\{\cos t\}=\dfrac{s}{s^2+1}$ em relação à variável $s.$

Primeira derivada

$\Large\begin{aligned}\displaystyle\dfrac{d}{ds}\left[\frac{s}{s^2+1}\right]&=\frac{1\cdot(s^2+1)-s\cdot(2s)}{\left(s^2+1\right)^2}\\\\&=\frac{s^2+1-2s^2}{\left(s^2+1\right)^2}\\\\&=\frac{1-s^2}{\left(s^2+1\right)^2}.\end{aligned}$

Segunda derivada

$\Large\begin{aligned}\displaystyle\dfrac{d^2}{ds^2}\left[\frac{s}{s^2+1}\right]&=\dfrac{d}{ds}\left[\frac{1-s^2}{\left(s^2+1\right)^2}\right]\\\\&=\frac{-2s\left(s^2+1\right)^2-(1-s^2)\cdot4s\left(s^2+1\right)}{\left(s^2+1\right)^4}\\\\&=\frac{2s\left(s^2+1\right)\left[-\left(s^2+1\right)-2\left(1-s^2\right)\right]}{\left(s^2+1\right)^4}\\\\&=\frac{2s\left(-s^2-1-2+2s^2\right)}{\left(s^2+1\right)^3}\\\\&=\frac{2s\left(s^2-3\right)}{\left(s^2+1\right)^3}.\end{aligned}$

Consequentemente, tem-se:

$\Large\begin{aligned}\mathcal{L}\{t^2\cos t\}&=(-1)^{2}\dfrac{d^2}{ds^2}\mathcal{L}\{\cos t\}\\\\&=1\cdot\frac{2s\left(s^2-3\right)}{\left(s^2+1\right)^3}\\\\&=\frac{2s\left(s^2-3\right)}{\left(s^2+1\right)^3}.\end{aligned}$