Um polígono regular tem 72 cm de perímetro. Cada um de seus vértices é extremidade de 9 diagonais. Quanto mede cada um de seus lados, em centímetros?
Respostas
Resposta:
Olá, tudo bem?
Pelo que eu entendi temos um polígono regular onde o número de diagonais que sai de um único vértice é igual ao total de diagonais de um hexágono.
Primeiro devemos calcular o número de diagonais do hexágono( Polígono com 6 lados) pela fórmula:
d= \frac{n\cdot(n-3)}{2}d=
2
n⋅(n−3)
\begin{gathered}d= \frac{6\cdot(6-3)}{2}=d= \frac{6\cdot3}{2}=\\\\ d= \frac{18}{2}\\\\ \boxed{d=9\ diagonais } \end{gathered}
d=
2
6⋅(6−3)
=d=
2
6⋅3
=
d=
2
18
d=9 diagonais
Descobrimos que o hexágono possui 9 diagonais. O número de diagonais que sai de um único vértice de um polígono é calculado por (n-3). Onde n é o número de lados. Logo no polígono a ser descoberto temos:
\begin{gathered}n-3=9\\ n=9+3\\\\ \boxed{n=12} \end{gathered}
n−3=9
n=9+3
n=12
Logo o polígono descoberto é um dodecágono( polígono com 12 lados).
A soma dos ângulos internos é dado por:
S=(n-2)\cdot180\ºS=(n−2)⋅180\º
onde n é o número de lados. Se dividirmos a soma doas ângulos pelo número de lados teremos o valor de cada ângulo. Então podemos adaptar a fórmula assim:
A= \frac{(n-2)\cdot180\º}{n}A=
n
(n−2)⋅180\º
Finalmente calculamos:
\begin{gathered}A= \frac{(n-2)\cdot180\º}{n}\\\\ A= \frac{(12-2)\cdot180\º}{12}\\\\ A= \frac{10\cdot180\º}{12}\\\\ A= \frac{1800\º}{12} \\\\ \boxed{\boxed{A=150\º}} \end{gathered}
A=
n
(n−2)⋅180\º
A=
12
(12−2)⋅180\º
A=
12
10⋅180\º
A=
12
1800\º
A=150\º
RESPOSTA: Cada ângulo desse polígono mede 150º
Espero ter ajudado.
Bons estudos!
O hexágono cujo perímetro igual a 72 cm, o seu lado mede 12 cm.
O polígono é uma figura geométrica que será determinado sua nomenclatura de acordo com sua estrutura, vejamos que o triangulo tem medidas diferente do quadrado, dado o triangulo tem três lados, a soma dos ângulos internos é 180°,entre outras características diferentes.
A soma dos ângulos é dado por: (n – 2 )* 180º * n = lados
Medida de cada angulo interno = (soma dos ângulos internos) / n
A soma dos ângulos externos será sempre 360° para qualquer polígono
Medida dos lados do angulo externo : 360/n
Quantidade de diagonais: d = [n(n-3)/2]
Sabemos a quantidade de diagonais desse polígono, dessa forma a quantidade de lados será:
Substituindo na fórmula: d = [n(n-3)/2]
9 = [n(n-3)/2]
18 = n(n-3)
n² - 3n = 18
n² - 3n - 18 = 0
Por bhaskara:
x1 = -3
x2 = 6
Como o número de lados não pode ser negativo, temos assim um hexágono (polígono de seis lados)
O perímetro é a soma de todos os lados, cada lado mede:
Perímetro/n = 72/6 = 12 cm
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