Considere a função
f(x) = x^3/(x − 2)
a) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f(x) bem como os
pontos de máximo/mínimo de f(x) (se existirem).
b) Encontre os pontos de inflexão de f(x) e determine os intervalos em que
a função é côncava para baixo ou para cima.
c) Encontre as assíntotas horizontais e verticais de f(x) (se existirem).
Respostas
Resposta:
Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.
Dada a função e suas derivadas e , devemos determinar:
a) Seus pontos críticos
Lembre-se que os pontos críticos de uma função são aqueles pertencentes ao seu domínio cuja inclinação da reta tangente à curva neste ponto é igual a zero. Isto é, sua derivada calculada neste ponto é igual a zero.
Assim, teremos:
Para que uma fração seja igual a zero, seu numerador deve ser igual a zero. Assim, fazemos:
Para que um produto de dois ou mais fatores seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero. Assim, fazemos:
Some em ambos os lados da segunda igualdade
b) Seus máximos e mínimos locais
Para isso, utilizamos o teste da segunda derivada: seja um ponto crítico da função . Ao calcularmos o valor da segunda derivada desta função neste ponto, existem três possíveis resultados:
Se é um ponto de mínimo local.
Se é um ponto de máximo local.
Se é um ponto de inflexão.
Assim, teremos:
De acordo com os teoremas acima, facilmente pode-se afirmar que é um ponto de máximo local e é um ponto de mínimo local.
c) Seus intervalos de crescimento e decrescimento
Para que uma função seja crescente em um intervalo, sua derivada calculada em algum ponto pertencente ao intervalo deve ser maior que zero. O oposto é válido para que a função seja decrescente.
Assim, teremos:
Visto que o denominador é uma expressão quadrática, ou seja, estritamente positiva para , aplicamos a desigualdade no numerador:
Para que um produto de dois ou mais fatores seja maior que zero, ambos os fatores devem ser maiores que zero ou menores que zero. Com isso, temos os seguintes sistemas de desigualdades:
Some em ambos os lados da segunda desigualdade dos sistemas
Com estas informações, utilizamos a notação de intervalo para concluir que os intervalos de crescimento desta função são e .
Faça o mesmo para os intervalos de decrescimento:
Para que um produto de dois ou mais fatores seja menor que zero, Os fatores devem ser, alternadamente, maior e menor que zero. Com isso, temos os seguintes sistemas de desigualdades:
Observe que o primeiro sistema nos leva a uma contradição. Logo, conclui-se que o intervalo de decrescimento da função é .
Explicação passo a passo: