Question

Questão 2.

(a) Um campeonato amador de basquete será disputado em uma quadra, e todos os times se enfrentarão entre em si em turno único, isto é, cada time jogará com todos os outros apenas uma vez. Se participarem n equipes do torneio, qual será, em função de n, o número total de partidas do campeonato?

(b) Se, no campeonato do item (a), as limitações do uso da quadra permitirem que sejam disputadas no máximo 80 partidas, quantos times, no máximo, poderão participar do campeonato?

(c) [Este item não está relacionado com os anteriores] Determine o conjunto solução da inequação abaixo:

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questão em anexo

Answer 1

Resposta:

a) O número de partidas do campeonato, em função do número de times, é dado por:

$C_{n,2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$

b) O número máximo de times que poderão participar do torneio são 13.

c) A solução da inequação é o intervalo:

$S=[3-\sqrt{5},1[\cup[3+\sqrt{5},6[$

Explicação passo a passo:

Nestas questões vamos utilizar conceitos de análise combinatória e de inequações quociente.

a) Como cada time deverá jogar com outro uma única vez temos um problema de contagem envolvendo combinações simples, onde a ordem dos termos não gera um novo elemento. Ou seja o jogo entre os times A X B é o mesmo jogo B X A.

Dessa forma temos:

$C_{n,p}=\dfrac{n!}{p!\cdot (n-p)!}\\\\C_{n,2}=\dfrac{n!}{2!\cdot (n-2)!}\\\\C_{n,2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$

b) Se podem ser disputadas no máximo 80 partidas, o número de partidas de acordo com a expressão do item "a" deve ser menor ou igual a 80. Dessa forma temos:

$C_{n,2}\leq 80\\\\\dfrac{n(n-1)}{2}\leq 80\\\\n^2-n-160\leq 0$

Resolvendo a inequação de 2º grau obtemos:

$\dfrac{1-\sqrt{641}}{2}\leq n \leq \dfrac{1+\sqrt{641}}{2}$

Como n deve ser um número inteiro positivo e o maior possível, n = 13.

c) Nesta inequação quociente vamos considerar duas funções quadráticas f (numerador) e g (denominador) e efetuar o estudo do sinal para resolver a inequação:

f(x) = x² - 6x + 4

Igualando a zero e completando quadrados para encontrar suas raízes temos:

x² - 6x + 4 = 0

x² - 6x + 4 + 5 = 5

x² - 6x + 9 = 5

(x-3)² = 5

x - 3 = ± √5

x = 3 ± √5

g(x) = x² - 7x + 6

Igualando a zero e usando a soma e produto das raízes para determinar as suas soluções temos:

S = 7 e P = 6

x' = 1 e x'' = 6

Efetuando o estudo do sinal obtemos:

f       + + + 3 - √5 - - - 1 - - - 3 + √5 + + + 6 + + +

g      + + + 3 - √5 + + + 1 - - - 3 + √5 - - - 6 + + +

f/g   + + + 3 - √5 - - - 1 + + + 3 + √5 - - - 6 + + +

Como queremos que a inequação seja não positiva temos o seguinte intervalo de solução:

$S=\{x\in\mathbb{R}\mid3-\sqrt{5}\leq x<1 \ ou \ 3+\sqrt{5}\leq x <6 \}$