Question

Resolva a equação biquadrada x⁴ – 10x² + 9 = 0.​

Answer 1

Resposta:

Vamos fazer uma manobra substituindo x² por y, para que possamos trabalhar mais facilmente.

Nossa equação vai ficar assim: y² - 10y + 9 = 0. Nesse formato, ela é uma equação do segundo grau comum, que podemos resolver pelo método "soma e produto" ou pela fórmula de Bháskara.

Vamos pelo soma e produto:

Com base nos coeficientes da equação, vemos que a soma de suas raízes deve ser igual a +10 e o produto igual a +9.

Se o produto tem que ser 9, vamos dar uma olhada em seus divisores.

Div(9) : {1,3,9}

Ou seja, as raízes estão nesse conjunto, necessariamente!

Se a soma deve ser 10, a única opção é que as raízes sejam y = 1 e y = 9.

Mas a questão não acabou! Lembra que fizemos uma substituição lá em cima? Precisamos desfazê-la aplicando os valores que encontramos.

Bom, se y = x², fazemos:

a) 1 = x²

   x = √1

   x = +1 e -1

b) 9 = x²

   x = √9

   x = +3 e -3

Logo, fechamos a questão afirmando que o conjunto-solução da equação biquadrada é {-3, -1, 1, 3}

Answer 2

Após resolver a equação biquadrada, concluímos que o conjunto verdade é:

$\boxed{\boxed{ \mathbf{ V=\{-3;~-1;~+1;~+3\}}}} \,\cdot$

Do mesmo modo que nas equações do segundo grau, devemos verificar se os valores encontrados como raízes satisfazem a equação proposta.

A resolução de uma equação biquadrada pode ser feita segundo dois processos:

- Processo direto:

A fórmula resolutiva de uma equação biquadrada é semelhante à forma resolutiva da equação do segundo grau:

$\mathsf{ ax^4+bx^2+c=0}$

$\mathsf{ x=\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2\cdot a}}}$

Logo, as raízes da equação poderão ser indicadas:

$\mathsf{ x_1=+\sqrt{\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2\cdot a}}\quad x_2=-\sqrt{\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2\cdot a}}}$

$\mathsf{ x_3=+\sqrt{\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2\cdot a}}\quad x_4=-\sqrt{\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2\cdot a}}}$

Então, agora que sabemos um pouco sobre o assunto vamos a resolução da pergunta:

$\mathsf{ x^4-10x^2+9=0}$

$\mathsf{ a=1\quad b=-10\quad c=9}$

$\mathsf{\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c }$

$\mathsf{\Delta=(-10)^2-4\cdot 1\cdot9 }$

$\mathsf{ \Delta=100-36 }$

$\mathsf{\Delta=64 }$

$\mathsf{ x=\pm\sqrt{\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2\cdot a}}}$

$\mathsf{x=\pm\sqrt{\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{64}}{2\cdot 1} }}$

$\mathsf{ x=\pm\sqrt{\dfrac{10\pm8}{2}}\begin{cases}\sf x_1=+\sqrt{\dfrac{10+8}{2}}=+\sqrt{9}=+3\\\\\sf x_2=-\sqrt{\dfrac{10+8}{2}}=-\sqrt9=-3\\\\\sf x_3=+\sqrt{\dfrac{10-8}{2}}=+\sqrt1=+1\\\\\sf x_4=-\sqrt{\dfrac{10-8}{2}}=-\sqrt1=-1\end{cases}}$

Portanto, o conjunto verdade da equação é:

$\boxed{\boxed{ \mathbf{ V=\{-3;~-1;~+1;~+3\}}}}$

Mais conhecimento sobre o assunto:

• https://brainly.com.br/tarefa/17338032