Considere a função f: IR → IR, f(x) = x2 - 4x +3 representada graficamente na figura abaixo.
Com base na figura e nas informações apresentadas, faça o que se pede nos itens a seguir:
a) Considere a função f(x) = x2 - 4x +3 , resolva as equações: f(x) = 0, f(x) = 3, f(x) = -1 e f(x) = -2. E diga, qual a relação entre essas soluções e o ponto x = 2?
b) Determine todos os valores de a pertencentes ao IR tais que a equação f(x) = a tenha: duas soluções reais e distintas, uma única solução real, nenhuma solução real.
c) Quais os principais conceitos matemáticos enfocados nesta atividade?
d) Quais são, na sua opinião os principais objetivos dessa atividade?
e) O que o uso de um software de ambiente gráfico pode acrescentar para a aprendizagem dos conceitos enfocados, em relação à abordagem convencional (isto é, sem o computador)?
Respostas
Resposta:
a) A justificativa detalhada é apresentada no item;
b)
- Para duas soluções reais e distintas a > -1;
- Para duas soluções reais e iguais a = -1 ;
- Não possuir raízes reais a < -1.
c) A justificativa detalhada é apresentada no item;
d) A justificativa detalhada é apresentada no item
Explicação passo a passo:
a)
Para f(x) = 0 temos:
x² - 4x + 3 = 0
Cujas raízes são x' = 1 e x'' = 3.
Para f(x) = 3 temos:
x² - 4x + 3 = 3
x² - 4x = 0
Cujas raízes são x' = 0 e x'' = 4
Para f(x) = -1 temos:
x² - 4x + 3 = - 1
x² -4x + 4 = 0
(x-2)² = 0
x' = x'' = 2
Para f(x) = -2 temos:
x² - 4x + 3 = -2
x² - 4x + 5 = 0
Não possui raízes reais.
Cada um desses valores de f(x) representa uma reta paralela ao eixo Ox que determinam pontos equidistantes de x = 2, que é o eixo de simetria da parábola.
b) Para f(x) = a
x² - 4x + 3 = a
x² - 4x + (3-a) = 0
Dessa forma temos três condições para o valor do discriminante Δ.
Δ = 16 - 12 + 4a = 4 + 4a
1º caso: Δ > 0 (duas raízes reais e distintas)
4 + 4a > 0
4a > -4
a > -1
2º caso: Δ = 0 (duas raízes reais e iguais)
4 + 4a = 0
a = -1
3º caso: Δ < 0 (nenhuma raiz real)
4 + 4a < 0
a < -1
c) Os principais conceitos envolvidos são:
- raízes ou zeros da função;
- resolução de equações do 2º grau;
- simetria da parábola;
- interseção de gráficos;
- valor numérico da função;
d) Os principais objetivos são associar a resolução de equações do 2º grau com funções quadráticas, eixo de simetria e representação de soluções pela interseção de gráficos.
e) A abordagem com o software favorece a manipulação dos gráficos no que tange a facilidade de observar de forma dinâmica os conceitos matemáticos abordados por meio de ferramentas de animação e múltiplas construções.