Question

Marcos fez cinco provas de matemática. Suas notas, em ordem crescentes, foram 75, 89, 84, 86 e 95. Ao digitar as notas de Marcos na ordem em que as provas foram realizadas, o professor notou que as médias das duas primeiras provas, das três primeiras, das quatro primeiras e das cinco provas eram números inteiros. Qual foi a nota que Marcos tirou na ultima prova? OBMEP 2013

Answer 1

Sejam $\text{n}_1$ e $\text{n}_2$ as duas primeiras notas de Marcos.

 

Observe que, os valores das notas devem ser ambos pares, ou ambos ímpares. 

 

Desse modo, uma possibilidade é $(\text{n}_1, \text{n}_2)=(75, 95)$, cuja soma é $75+95=170$.

 

Entretanto, se $\text{n}_3$ é a terceira nota, temos que $\dfrac{\text{n}_1+\text{n}_2+\text{n}_3}{3}$ é inteiro. Porém, se $(\text{n}_1, \text{n}_2)=(75, 95)$, não há possibilidades.

 

Desta maneira, excluímos a possibilidade $(\text{n}_1, \text{n}_2)=(75, 95)$.

 

Como $80$ e $86$ são ambos pares, uma possibildade é $(\text{n}_1, \text{n}_2)=(80, 86)$.

 

Depois diss, verificamos que $\text{n}_3=95$, de modo que, $\dfrac{\text{n}_1+\text{n}_2+\text{n}_3}{3}$ seja inteiro.

 

Desse modo, há duas possibilidades para a quarta nota: $84$ ou $75$.

 

Se $\text{n}_4=84$, temos que $\dfrac{\text{n}_1+\text{n}_2+\text{n}_3}+\text{n}_4}{4}$ não e inteiro.

 

Logo, podemos afirmar que, as notas de Marcos foram $80, 86, 95, 75, 84$, nessa ordem e,

 

Portanto, a nota de Marcos na última prova foi $84$.

Answer 2

Marcos tirou na última nota 84 pontos.

 * Sua questão possui um erro, o valor 89 deveria ser 80 para obtermos o resultado*

       Notas em ordem crescente: 75, 80, 84, 86 e 95

 Para calcular a média entre valores usa-se a operação de divisão, basta somar todos os valores do conjunto e dividir pelo número total de termos. Observe :

           n1+n2+n3...nn

Me=   ____________

 

                    n

 Sabendo que as médias sempre darão números inteiros, conclui-se que os valores das notas devem ser ambos pares ou ambos ímpares, tomemos a possibilidade de :

n1= 80

n2= 86

• Dessa forma:

$Me= \frac{80+86}{2}$

$Me=\frac{166}{2}$

$Me= 83$, logo um número inteiro.

 Para que a média entre as três primeiras notas assuma valor inteiro, tomemos o seguinte n3:

n3= 95

$Me= \frac{80+86+95}{3}$

$Me= \frac{261}{3}$

$Me= 87$

Para que a média entre as quatro primeiras notas assuma valor inteiro, tomemos o seguinte n4:

n4= 75

$Me= \frac{80+86+95+75}{4}$

$Me= \frac{336}{4}$

$Me= 84$

 Portanto, a ultima nota que o Marcos tirou foi 84.

 A sequencia das notas é: 80, 86, 95,75 e 84.

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